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作者:徐元展 (2000-07-12),核可:。
附註:本文為八十八學年度元智大學機械工程研究所徐元展碩士論文第四、五章。

電子連接器接觸彈簧形態最佳化設計

本章描述電子連接器接觸彈簧形態最佳化設計,希望改變接觸彈簧幾何外型,使其插入力最小,但仍能滿足接觸力、應力等限制條件。在這個最佳化設計程序中,首先建立接觸彈簧的最佳化數學模型,定義其目標函數與限制條件,接著使用最佳化的演算方法「序列線性規劃法」,將非線性的目標函數與限制條件以泰勒展開式做線性近似,其中為幫助求得可行解在難以滿足的限制條件上加入「邊界控制因子」,然後以線性規劃求得該次迭代之設計點,如滿足終止要件則停止,否則進入下一次迭代。本章最後說明接觸彈簧形態最佳化的迭代歷程與結果,指出接觸彈簧形態設計的改進方向。

4.1 接觸彈簧最佳化數學模型的建立

進行最佳化設計的第一個步驟,是要建立一個最佳化設計數學模型來表示這個設計問題。這個最佳化設計數學模型包括了目標函數和限制條件兩個部份,兩者都是設計變數的函數。

為了訂出電子連接器的目標函數與限制條件,需要先回顧電子連接器機械特性的設計規格。本研究所分析的接觸彈簧樣本,平均每對接腳的最大插入力為95g,接觸彈簧完全張開時的正向接觸力平均每個彈簧最少要有60g。由我們分析的結果,當摩擦係數時,插入力與插入長度如圖4.1所示,接觸介面最後一個接觸點的正向接觸力左右兩側分別為118.3g148.0g,而最大插入力為61.8g,接觸力與插入力都符合設計規格。而右邊彈簧的根部最大應力為708.2Mpa,比磷青銅合金的抗拉強度635Mpa高出許多。

4.1 插入力與插入長度關係

在插入力、正向接觸力、應力等三項設計要求中,我們希望求得最小插入力,使連接器插拔更順暢,並能設計更多接腳的電子連接器。以目前的設計看來,左右兩邊彈簧的正向接觸力都還遠高於設計規格,而右邊彈簧的根部應力則過高。因此我們可以將接觸彈簧的形態進行最佳化,將最大插入力減低,而正向接觸力與最大應力都能保持在許可的範圍內。因此接觸彈簧形態最佳化的問題可用以下的方式表示:

minimize           最大插入力

subject to         正向接觸力要高於設計規格規定

                        接觸彈簧的最大應力低於材料強度

接觸彈簧最佳化設計模型的設計變數,為描述接觸彈簧幾何形狀的控制點位置,如圖4.24.3所示,整個接觸彈簧的幾何形狀可分為三個部份:接觸表面(contact surface)、彎曲力臂(bending arm)以及根部(root area)。在接觸表面上的控制點對插入力有關鍵性的影響,接觸面需要是個平滑曲線設計,因此控制點不用設置太多,左邊的彈簧在接觸平面的最後一個接觸點設置控制點,而右邊的彈簧除了接觸平面的最後一個接觸點設控制點外,在對應左邊彈簧產生最大插入力點同高度的位置設一控制點。在彎曲力臂的部份,在第三章對摩擦係數的討論中有提到,影響正向接觸力的因素是彈簧的剛性,而彈簧的剛性主要是由彎曲力臂的形狀所決定的,因此需要較多控制點來描述其形狀。如圖4.24.3,右邊彈簧有10個控制點,左邊彈簧有12個控制點來調整彎曲力臂的形狀。由於應力集中位置在根部,應力集中對於細部幾何形狀十分敏感,需要更多控制點,因此左右兩邊的彈簧在根部各設置10個控制點,來描述接觸彈簧的根部形狀。兩接觸彈簧加起來總共49個控制點。

4.2 將接觸彈簧幾何形狀分為三個部份,圖為右側接觸彈簧控制點的配置

4.3 左側接觸彈簧控制點位置

為了不在最佳化的過程中產生不合理的形狀,在圖4.24.3中,所有的控制點只能在法線方向移動。控制點每次移動的長度為最佳化數學模型中的設計變數,也就是共有49個設計變數。這個最佳化問題可以寫成以下列的數學方式表達:

min. 

st.    

               

               

                                                                                                   (4.1)

其中為規格中規定的最小正向力,雖然樣本彈簧的規格定為60g以上,但研究文獻討論一般來說最好在100g以上才能使接觸面的電阻穩定,為彈簧磷青銅合金的容許應力635Mpa,而為所有控制點移動量的集合。函數以及的值以第二章所述的方法結合利用有限元素分析技術來計算。

幾何限制條件

我們將使用「序列線性規劃法(sequential linear programming, SLP)」加上「邊界控制因子(boundary control factor)」來求得式(4.1)之最佳解。而函數以及在演算法內所需要的靈敏度(sensitivities)以有限差分法的方式得到,細節在下一節中說明。

4.2 使用序列線性規劃法與邊界控制因子

接觸彈簧形態最佳化設計的最佳化演算方法,使用在結構形態最佳化設計中,被廣泛使用的方法-「序列線性規劃法」。序列線性規劃法對於不可行解的處理能力較差,而由於接觸彈簧的初始設計,右邊彈簧的應力過高,大幅違反限制條件,因此在應力限制條件加入「邊界控制因子」來幫助得到可行的接觸彈簧設計。

4.2.1 序列線性規劃法

序列線性規劃法首先將目標函數及限制條件,在起始設計點以一階泰勒級數線性化,展開成如式(4.2)所示[Vanderplaats, 1984; 徐業良,1995]

                                                                      (4.2)

(4.2)是一個線性規劃子問題,可以用線性規劃法中的簡算法求解,得到下一次迭代的設計點。一般來說,這個新設計點,應比起始點更為接近原始非線性規劃問題的最小點,而在下一次迭代中,便將式(4.2)在設計點以一階泰勒級數線性化展開。如此反覆以線性規劃子問題,去近似原先的非線性規劃問題,希望每一次迭代得到新的設計點,都比前一個設計點更接近真正的最小點,而在新設計點上的線性近似子問題,也愈來愈近似原非線性問題最小點的附近區域。最後線性規劃子問題的解,終於可以趨近原先非線性問題的最小點。

(4.2)中的最後一項限制條件,稱為「移動限制(move limit)」,移動限制的給定,主要是因為利用線性序列規劃法解最佳化問題時,函數是以一階泰勒級數方式近似展開,只有在設計點的附近才會較近似於原來的非線性曲線,超過一定範圍線性近似便相當不準確。因此在每次迭代過程中,設計變數的改變量,必須以移動限制加以侷限,否則演算過程中很可能會發生震盪及發散的情形。

依此方法將接觸彈簧形態最佳化數學模型,以式(4.2)作線性規劃,可得到如式(4.3)

                                         (4.3)

每一次迭代中,即是解如下式(4.4)線性規劃子問題:

       

       

       

                                                                 (4.4)

其中N=0.981N(即100g)、S=635Mpa。式(4.4)中最後一項為每個控制點的移動限制。

4.2.2 邊界控制因子

在使用序列線性規劃法(SLP)做工程問題最佳化時常會遇到一個困難,當迭代出一個新的近似解卻發現非常不可行時,必須將這次的迭代放棄,試驗新的移動限制直到讓不可行的程度降到可容許的範圍內。在這樣的迭代方式下,會花費很多時間做方程式的估算以及靈敏度的計算。在大部分的工程最佳化問題中,計算最佳化數學模型所需的目標函數、限制條件以及靈敏度導函數的值所花的成本,遠比最佳化演算法本身的運算還多。此外,碰到不可行的迭代結果時,移動限制需要大幅調降,會造成演算法收斂的速度變慢,甚至停止在一個非最佳點上。

要解決上述的困難,可以代入一個「邊界控制因子」[Hsu, et al, 1995; Mulkay, 1998]來輔助移動限制的效果。當線性規劃後的數學模型,式(4.2)所得的近似解在原來非線性模型是高度不可行解時,表示線性規劃後的限制條件需要設定的更加保守。在標準的序列線性規劃法中,是利用移動限制來限制設計變數在本次迭代時的變動範圍,但實際上應該是將線性近似的限制條件「拉回來(pull back)」,做更保守的估計。這裡即利用「邊界控制因子」,將線性近似的限制條件「拉回來」。

4.4表示一個二維「拉回來」的例子,點1是本次迭代的初始點;點2是以式(4.2)線性規劃方程式計算所得的近似解。注意到點2是限制條件的交叉點,而分別為非線性限制條件的線性近似限制條件。當發現點2為不可行解時,便可以定義一邊界控制因子把線性近似的限制條件拉到圖4.3中的兩條粗線的位置,這樣在兩條新的線性近似限制條件的交點,點3便比較接近可行區域內。

4.4 邊界控制因子的影響[Hsu, et al., 1995]

要「拉回」線性的限制條件,等於是改變線性限制條件的常數項,式(4.2)的線性規劃限制條件可改寫成如下式(4.5)的標準線性方程式:

                                                                                     (4.5)

其中

在式(4.5)中的常數項乘上,則線性限制條件變成

                                                     (4.6)

其中為前次設計點座標,如圖4.3的點1。代入,則上式簡化成

                                                                    (4.7)

邊界控制因子的給定需要視其限制條件要拉回的距離而定。

在本論文接觸彈簧的最佳化問題中,由於接觸彈簧原型右邊彈簧的根部應力過高,因此一開始迭代的初始值在不可行的範圍內。由迭代的經驗中發現,在這個最佳化設計問題中,應力是最難滿足的限制條件,因此我們在應力限制條件上加上「邊界控制因子」,將式(4.4)中應力限制條件的容許應力除以,藉著把線性化的應力限制條件拉回而儘快得到一符合限制條件的可行解。

4.3 接觸彈簧形態最佳化結果與討論

在建立最佳化數學模型,使用序列線性規劃法(SLP)最為形態最佳化設計的方法之後,便要進入最佳化迭代的流程。如圖4.5所示,以現有的設計點,將各設計點在其法線方向調整一為小的變化量,表示針對個別設計變數的改變量造成的影響,單獨調整每一變數後,代入ANSYS做有限元素分析,分別得到各個設計點的擾動,對插入力、正向接觸力以及根部最大應力的影響,即靈敏度(sensitivities),接著進行線性規劃形成線性規劃子問題,將線性規劃後的模型帶入GAMS軟體求出新的設計點,以作為下次迭代的初始設計點。

4.5 接觸彈簧形態最佳化迭代流程

4.1為接觸彈簧歷次迭代模型的結果,根部應力的限制條件以邊界控制因子,將應力限制條件由635Mpa「拉回」到250Mpa,在第一次迭代便把應力降至618Mpa,到達可行區域內。在第二次迭代時仍使用邊界控制因子,以防根部最大應力又回到不可行區域內。比較第一次迭代與初始設計發現,左邊彈簧的正向接觸力為1.055N,快要接近限制條件的100g(0.981N),若控制點的移動限制(move limits)還維持第一次迭代的設定,則左邊彈簧在第二次迭代時正向接觸力會掉到0.91N,而成為不可行解,因此在第二次迭代時需要縮小控制點的移動限制,讓最佳化設計模型的變化減小,慢慢地接近最佳解,而不會有太突然的變化跑到不可行的區域。接觸彈簧的插入力,由初始的0.6063N降至0.4332N,插入力減少了28.6%,而正向接觸力,左邊彈簧相當接近限制條件的0.981N,而右邊彈簧應力則由708.2Mpa降至591.5Mpa,維持在可行區域內。

4.1 接觸彈簧歷次迭代模型結果

 

初始設計

第一次迭代

第二次迭代

 

 (Mpa)

708.204

538.376

618.182

498.218

591.516

497.091

 (N)

1.452

1.161

1.237

1.055

1.201

1.006

 (N)

0.0918

0.5145

0.0793

0.3711

0.081

0.3522

Total

0.6063

0.4504

0.4332

4.6為左右兩個接觸彈簧上控制點的走向,左邊的彈簧在接觸平面轉折的部份向右邊偏移,而在下半部的彎曲力臂則縮小,根部的控制點則往下移動;右邊的彈簧在接觸平面上的控制點往右移動,彎曲力臂也縮小,根部的控制點則往外移動。接觸彈簧的依其受力方式來看,就像是懸臂樑,懸臂樑的等效剛性為

                                                                                            (4.8)

其中為懸臂樑的長度。我們發現左右兩邊彈簧的彎曲力臂寬度都縮小,因此其慣性矩也會變小,由式(4.8)得知接觸彈簧的剛性會變小,因此彈簧的正向接觸力也就減小,而插入力也跟著減小。左邊彈簧根部的控制點向下移動,則應是是為了增加接觸彈簧彎曲力臂的長度,由式(4.8)可以看出也會降低接觸彈簧的剛性。至於右邊彈簧的根部,因為其應力集中較大,在根部的控制點向外移動,使得根部變寬以降低根部的應力集中。

由於接觸彈簧的尺寸很小,因此在做最佳化迭代時,控制點移動限制(move limits)的設定,需要加以注意,否則會很容易跑到不可行區域內而難以得到理想的可行解。

4.5 迭代2次後接觸彈簧外型

在迭代過程中,接觸彈簧根部應力過高,一直是一個重要的困難。這裡做一項比較,如果是一單純的懸臂樑,長度等於彈簧的彎曲力臂長,寬度與厚度都與接觸彈簧相同,如表4.2所示。要產生相同的變形量,左邊彈簧0.475mm,右邊彈簧0.45mm,則其根部應力的計算如下:

                                                                                       (4.9)

其中變形量,則,代入上式得到

                                                                              (4.10)

其中彈性模數,推算左邊彈簧的根部應力為880Mpa,而右邊彈簧的根部應力為1086Mpa,均遠大於磷青銅合金的抗拉強度635Mpa。因此樣本接觸彈簧的形態最佳化設計中,應力過高是一個先天的限制,而非因幾何形狀造成應力集中,且在最佳化設計過程中移動限制、邊界控制因子等參數的設定若不嚴謹,很容易發生彈簧根部應力過大而不可行的情形。

4.2 懸臂樑參數

 

右邊彈簧

左邊彈簧

長度l

5.88mm

7.3705mm

寬度h

0.54mm

0.6514mm

厚度b

0.25mm

0.25mm

接觸彈簧形態最佳化結論

電子連接器(electronic connector)在提供一可分離的介面,來連接電子系統內部的兩個子系統,使能順利的傳輸訊號或電力。本論文針對廠商所提供電路板對電路板的電子連接器內部接觸彈簧進行形態最佳化設計。考量接觸彈簧的機械性能的影響,接觸彈簧夾持PCB板的正向接觸力需要在100g以上,才能穩定的傳輸訊號與電力,但電子連接器在設計上,同時也要考慮接合時插入力的大小,過高的插入力不但會造成組裝的不便,也可能會在電子構裝上產生機械破壞。本論文在接觸彈簧的正向接觸力以及材料容許應力的規格範圍內,找出插入力最小的接觸彈簧形態最佳化設計。

本論文建構接觸彈簧的插入力分析程序,以每個離散接觸點接觸瞬間為靜力平衡的假設,來描述連接器裝配時的力學狀況,結合有限元素分析技術,模擬出接觸彈簧在PCB插入的過程中,正向接觸力與插入力的狀況。廠商所提供的接觸彈簧為不對稱設計,分析結果發現不對稱設計使得插入力的峰值分開,也能夠避免插拔力過大的問題。

本論文對可能影響彈簧插入力的參數,接觸面摩擦係數以及與PBT塑膠外罩緊配的界面設定探討。接觸面摩擦係數對插入力有顯著的影響,若減小接觸面的摩擦係數,可以減小插入力而不用犧牲接觸彈簧的正向接觸力。不過接觸面摩擦係數對正向接觸力並無影響,因為正向接觸力是依接觸彈簧的強度而定,與接觸彈簧的形狀與材質有關。另外,在緊配界面的設計上,使用接觸元素設定緊配界面,與實際量測差拔力所得結果較為接近。而干涉的長度與深度,對接觸彈簧的剛性並無影響。

接觸彈簧的形態最佳化的設計採用序列線性規劃法,對應力限制條件加入邊界控制因子,左右兩彈簧共49個控制點作為設計變數,所迭代出的最佳化接觸彈簧形態,其插入力下降了28.6%,應力則由708.2Mpa降至591.5Mpa,維持在可行區域內。

參考資料

Hsu, Y.L., Lin, Y.F., and Guo, Y.S., 1995, “A Fuzzy Sequential Linear Programming Algorithm for Engineering Design Optimization,” Design Engineering Technical Conferences, v 1, p 457-458.

Mulkay, E.L., Rao, S.S., 1998, “Fuzzy Heuristics for Sequential Linear Programming.” Journal of Mechanical Design, v 120, p17-23.

Vanderplaats, G.N., 1984, Numerical optimization Techniques for Engineering Design: With Applications, McGraw-Hill Book Company.

徐業良,「工程最佳化設計」,宏明圖書有限公司,213218頁,199510月。