//Logo Image
作者:許銘修, 徐業良 (2000-07-28);推薦:徐業良 (2001-02-15)
附註:本論文發表於中國機械工程學會第十七屆學術研討會。

三維結構形式幾何最佳化與形態最佳化之整合

摘要

在三維形式幾何最佳化設計與形態最佳化設計分別被廣泛的研究後,整合三維形式幾何最佳化與形態最佳化成了受人矚目的研究主題,本論文的研究目的即是嘗試以密度等高線法,進行整合三維形式幾何最佳化與形態最佳化設計的研究。

本研究的主要突破在於將形式幾何最佳化設計所得的結構,依其設計區域網格化的結果而區分成數個截面,並將截面上節點的密度值以等高線方式表示,在考慮材料限制條件的情況下,最後以B-Spline曲線連結所有截面而成一表面平滑的結構,此結構即為三維形式幾何最佳化以密度等高線法表示的結果,並可作為形態最佳化設計的初始設計,而使形式幾何最佳化輕易的與形態最佳化設計做結合。

以密度等高線法進行整合形式幾何最佳化與形態最佳化設計的設計程序在本文中一併被提出,並以一三維懸臂樑結構作為設計範例,由此範例的結果說明了密度等高線法可以被適切的運用於整合形式幾何最佳化與形態最佳化,並能獲致良好的最佳化結果。

1. 簡介

在結構形態最佳化設計(shape optimization design)程序中,開始時必須先定義一個初始設計,接著則藉由改變初始設計的外觀形態,以獲得最佳的結構設計。然而在整個設計過程中,結構的主要形式幾何(topology)並沒有被改變,因此形態最佳化只能稱之為在初始形式幾何之下的最佳設計。形式幾何最佳化設計(topology optimization)領域即是在找尋一個最佳的形態最佳化設計的初始設計,以使得結構形態設計能真的獲得一最佳之結構形態。

結構形式幾何最佳化的發展已經有二十餘年的歷史,然而直到1988BendsfnKikuchi發表均質法(Homogenization Method)[1]後,整個領域的發展才有了重大突破。均質法主要是將設計區域以連續有孔的均質性(homogeneous)、非等向性(anisotropic)材料元素進行網格化,而每個元素均具有三個設計變數,這些設計變數決定了孔的大小與方向。由於每個元素都有三個設計變數,因此對於較大型結構或三維結構需要元素個數多時,所需的求解時間即會增長。

Mlejnek[2]1992年提出了材料分佈法(Material Distribution Method),主要概念是以等向性(isotropic)材料元素對設計區域進行網格化,設計變數為每個元素的材料密度值。當材料密度值為1時,表示該元素中充滿材料,反之材料密度值為0則表示該元素為空的,即不含任何材料。由於每個元素中只有一個設計變數,因此相對於均質法來說是一個較簡單且節省計算時間的方法。圖1YangChuang[3]利用材料分佈法所得的結果,圖中顏色較深的部分為材料密度值為1或接近1的元素;顏色呈白色的部份表示材料密度值為0或是接近於0

1. 以材料分佈法所得之形式幾何最佳化結果 (Yang and Chuang [3])

另一個常用於獲得結構形式幾何最佳化的方法是進化結構最佳化方法(Evolution Structural Optimization, ESO)[4],於1993年由XieSteven提出,此方法的主要概念是由結構中循序移去過剩的材料,以獲得最佳結構設計。然而不論是以何種方法所獲得的形式幾何最佳化結果,通常都是不平滑甚至不連續的結構,必須再經過平滑化[5]或是與形態最佳化設計做結合[6-8]

近幾年來,形式幾何最佳化領域已經由二維結構推展至三維結構,DíazLipton[9]1997年提出由兩個等向性材料所組成的正交層狀微結構(orthotropic laminar microstructure),以求取三維彈性結構的最佳材料分佈狀況。Olhoff et al[10] 1998年運用由GibianskiCherkaev1987年所推導出的數學模型,進行三維結構形式幾何最佳化。Beckers[11]則於1999年提出二元方法(Dual Method),以獲得形式幾何最佳化結果,並以三維結構作為設計範例。

整合形式幾何最佳化與形態最佳化設計的研究首度在1991年由BendsøeRodrigues[12]提出,主要討論的是二維結構的最佳化。該論文中是以均質法作為形式幾何最佳化的方法,再利用形式幾何最佳化結果作為形態最佳化設計的初始設計,形態最佳化的目標函數是最大應力值,結構順從度為限制條件,以邊界變動法(Boundary Variations Method)求取邊界曲線上每個設計點的位置,而獲得結構最佳形態。

KumarGossard[13]1996年結合二維結構之形式幾何最佳化與形態最佳化,以形態密度函數(shape density function)等高線來表示結構的邊界形態,而結構的形態或是形式幾何藉由最佳化演算法,可以同時進行修正與最佳化。

Hsu et al[14]1998年以密度等高線法(Density Contours Method)整合形式幾何最佳化與形態最佳化,其概念是以密度等高線來表示由材料分佈法所得之形式幾何最佳化結果,因此可以獲得平滑的形式幾何最佳化結構;再由電腦以內差法計算出密度等高線所涵蓋的區域中最接近於材料限制條件的密度等高線值,最後以該密度等高線作為進行形態最佳化設計的初始設計,輪文中主要的研究對象亦為二維結構的最佳化。

總結以上所述,已經有相當多的文獻分別討論三維形態最佳化設計,以及三維形式幾何最佳化設計,然而於整合三維結構形式幾何最佳化與形態最佳化設計方面的研究,目前卻甚少文獻提及。本論文的研究目的即是嘗試以密度等高線法,進行三維形式幾何最佳化與形態最佳化設計的整合研究。

論文中首先將說明如何以密度等高線法來描述三維形式幾何最佳化結果;接著則以密度等高線法來整合結構形式幾何最佳化與形態最佳化;再以懸臂樑結構為一設計範例,來說明密度等高線法可以適切地運用於三維結構;最後則是對本論文做一結論。

2. 以密度等高線法闡述三維結構形式幾何最佳化結果

本論文用以進行形式幾何最佳化的方法為材料分佈法,材料分佈法是以每個元素中正規化的材料密度值作為設計變數,其中是第個元素的假設材料密度;是真實的材料密度,而則是第個元素正規化的材料密度值。由此定義可知設計變數必介於01之間,當0時表示該元素不含任何材料,而當1時則表示該元素充滿了材料,亦即表示該元素在最佳化的結構中存在。

2所示為一三維設計結構的設計區域與其邊界條件,結構的兩邊為固定端,作用力作用於結構的內部中間,此結構將被用來作為如何以密度等高線法整合形式幾何最佳化與形態最佳化設計的說明範例。本設計範例使用材料分佈法為形式幾何最佳化方法,並以最小化結構順從度(compliance)為目標函數,25%定量可使用的材料為限制條件。

2. 三維結構的設計區域與其邊界條件(F=50,000N

2所顯示的設計區域在最佳化過程中被網格化為個元素,由於限制條件為25%定量可使用的材料,所以設定每個元素的初始材料密度值為,結構初始順從度為。經過100次迭代後,圖2結構的形式幾何最佳化結果如圖3所示,圖3中只將材料密度大於0的元素顯示出來,此時結構的順從度已經大幅降低至

3. 形式幾何最佳化所得結果

由形式幾何最佳化結果獲得各個元素的材料密度值後,使用內差法將元素的密度值轉移至每個元素的節點上,二維結構於此時即可直接由節點上的密度值而繪出密度等高線,然後選取適當的密度等高線值,使其所圍成的面積滿足材料限制條件,此密度等高線值所表示的結構即為形式幾何最佳化結果,並可以作為形態最佳化的初始設計,使形式幾何最佳化與形態最佳化輕易的結合。

對於三維結構在此可以將其視為數個二維截面的組合,如圖3所示的形式幾何最佳化結果若沿著X方向即可獲得21個截面,沿著Y方向或Z方向均可獲得11個截面。將每個截面上節點密度值即可利用密度等高線法來表示,圖4至圖6分別為沿著X方向上第1個、第6個、與第11個截面的密度等高線圖,圖中所顯示的為的密度等高線圖。

4. 1個截面的密度等高線圖

5. 6個截面的密度等高線圖

6. 11個截面的密度等高線圖

給定一個適當的密度值建立每個截面的等高線,以程式自動選取每個截面上等高線中的點為控制點,再以B-Spline曲線連接截面中的控制點,以及截面與截面之間的控制點,圖7所示即為以B-Spline曲線連接每個控制點的結果,如此即可建立成實體結構並可獲得結構體積;另外給定一個適當的密度值,以相同方法建立成實體結構並獲得結構體積,以內差法由決定一密度值,使得由所建立的結構其體積接近於25%定量可使用材料的限制。圖8為所獲得接近於25%定量可使用材料限制的結構,此時密度值,體積為

7. B-spline曲線連結每個控制點

8. 密度等高線值所得之結構

3. 以密度等高線法整合結構形式幾何最佳化與形態最佳化

8所示的以密度等高線法所得的結構將作為形態最佳化設計的初始設計,目標函數依然是最小化結構順從度,目標函數除了形式幾何最佳化原有的25%定量可使用的材料限制外,另外也考慮了應力限制條件,亦即結構整體最大應力值必須小於所給定的應力限制,譬如通常以材料降服強度為應力限制。

8中共選取了160個控制點,並以B-Spline曲線連結這些控制點,每個控制點的法線方向位移為形態最佳化的設計變數。因此於本範例中共有160個設計變數,而最佳化演算法則是使用中心法(Method of centers)[15]

以形態最佳化進行15次迭代後,此結構之結構順從度改變至;結構體積是接近於25%定量可使用的材料的;而整體結構最大應力值則是滿足應力限制條件的

歸納以上的說明,在此提出以密度等高線法整合形式幾何最佳化與形態最佳化設計的設計步驟:

(1)   定義初始設計區域(圖2)。

(2)   進行結構形式幾何最佳化設計,目標函數為結構順從度,限制條件為定量可使用的材料(圖3)。

(3)   以密度等高線法闡述形式幾何最佳化結果(圖46)。

(4)   B-Spline曲線連結截面內由密度等高線所得之控制點,並連接截面與截面之間的控制點,用以建立實體結構並考慮材料限制條件。(圖7、圖8)。

(5)   以所建立的實體結構為形態最佳化設計的初始設計,目標函數同樣為結構順從度,限制條件為定量可使用的材料,以及結構應力限制。

4. 三維懸臂樑結構設計範例

以下將以三維懸臂樑結構來證實密度等高線法可以適切的擴展於三維結構最佳化設計中。

步驟1:定義初始設計區域

三維懸臂樑結構的設計區域如圖9所示,結構的一端固定,另一端中點位置施加一作用力

9. 三維懸臂樑結構的設計區域與邊界條件(F=50,000N

步驟2:進行形式幾何最佳化設計

將設計區域網格化為個元素,以材料分佈法進行形式幾何最佳化設計,目標函數為最小化結構順從度,限制條件為25%定量可使用的材料。

經過75次迭代後,三維懸臂樑結構的順從度由降低至,圖10所示為其形式幾何最佳化設計結果,圖中所顯示的為材料密度大於1的元素。

10. 三維懸臂樑結構的形式幾何最佳化設計結果

步驟3:以密度等高線法闡述形式幾何最佳化結果

將元素上的材料密度轉換至節點上,並以密度等高線法描述每個截面上的節點密度分佈。圖11所示為所有截面上的密度等高線圖。

11. 結構上所有截面上的密度等高線圖

步驟4:建構結構實體

B-Spline曲線連結截面上與截面間所有控制點,圖12所示即為以B-Spline曲線連結的結果,進而以此建立三維結構實體。經過內差法計算後,確認當密度等高線值時結構實體具有接近25%定量可使用材料的,共有86個控制點被選擇,此時整體結構最大應力值為,已經超過該材料的降服強度

12. B-Spline曲線連結所有控制點

步驟5:進行形態最佳化設計

以由密度等高線法所獲得之結構作為形態最佳化設計的初始設計,目標函數是最小化結構的順從度,限制條件為25%定量可使用的材料,以及結構最大應力值必須小於材料的降服強度,而設計變數則是控制點於法線方向的位移量。

經過25次迭代後,結構順從度由初始的降低至;結構體積為,仍維持在限制條件附近;最大應力值則是已經低於材料的降服強度,而達。圖13所示即為結構經過形態最佳化設計後的結果。

13. 結構經過形態最佳化設計後的結果

5. 結論與討論

本論文的研究目的是嘗試以密度等高線法,進行三維形式幾何最佳化與形態最佳化設計的整合研究。文中主要的突破在於將形式幾何最佳化設計所得的結構,依其網格化的結果區分成數個截面,並將截面上節點的密度值以等高線方式表示,在考慮材料限制條件的情況下,最後以B-Spline曲線連結所有截面而成一表面平滑的三維結構實體,此結構即為形式幾何最佳化以密度等高線法表示的結果,並可作為形態最佳化設計的初始設計,而使形式幾何最佳化輕易的與形態最佳化設計結合。

論文中提供了以密度等高線法進行整合形式幾何最佳化與形態最佳化設計的設計程序,並以一三維懸臂樑結構作為設計範例,由此範例的結果說明了密度等高線法可以被適切的運用於整合形式幾何最佳化與形態最佳化,並能獲致良好的最佳化結果。

參考文獻

Bendsfn, M. P., Kikuchi, N., 1988, “Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenization Method,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 71, pp. 197-224.

Mlejnek, H. P., 1992, “Some Aspects of Genesis of Structures,” Structural Optimization, Vol. 5, pp. 64-69.

Yang, R. J., and Chuang, C. H., 1994, “Optimal Topology Design Using Linear Programming,” Computers & Structures, Vol. 52, No. 2, pp. 265-275.

Xie, Y. M., Steven, G. P., “A Simple Evolutionary Procedure for Structural Optimization,” Computers & Structures, Vol. 49, pp. 885-896.

Maute, K., and Ramm, E., 1995, “Adaptive Topology Optimization,” Structural Optimization, Vol. 10, pp. 100-112.

Papalambros, P., and Chirehdast, M., 1990, “An Integrated Environment for Structural Configuration Design,” Journal of Engineering Design, Vol. 1, No. 1, pp. 73-96.

Bendsfe, M. P., and Rodrigues, H. C., 1991, “Integrated Topology and Boundary Shape Optimization of 2-D Solid,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 87, pp. 15-34.

Olhoff, N., Bendsfe, M. P., and Rasmussen, J., 1991, “On CAD-Integrated Structural Topology and Design Optimization,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 89, pp. 259-279.

Díaz, A., Lipton, R., 1997, “Optimal Material Layout for 3D Elastic Structures,” Structural Optimization, Vol. 13, pp. 60-64.

Olhoff, N., Rønholt, E., Scheel, J., 1998, “Topology Optimization of Three-Dimensional Structures Using Optimum Microstructures,” Structural Optimization, Vol. 16, pp. 1-18.

Beckers, M., 1999, “Topology Optimization Using a Dual Method With Discrete Variable,” Structural Optimization, Vol. 17, pp. 14-24.

Bendsfn, M. P., Rodrigues, H. C., 1991, “Integrated Topology and Boundary Shape Optimization of 2D Solid,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 87, pp. 15-34.

Kumar, A. V., Gossard, D. C., 1996, “Synthesis of Optimal Shape and Topology of Structures,” Journal of Mechanical Design, Vol. 118, pp. 68-74.

Hsu, Yeh-Liang, Chen, Chuan-Tang, Hsu, Min-Sho, 1998 "Interpreting Results from Topology Optimization Using Density Contours," 中國機械工程學會第十五屆全國學術研討會論文集, pp. 855-860.

Vanderplaats, G. N., 1993, Numerical Optimization Techniques for Engineering Design, McGRAW-HILL Inc., pp.157-162.