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作者:洪永杰(2004-01-10);推薦:徐業良(2004-01-10)

基礎線圈電磁學探討

1.     何謂「磁場」?

具有質量的物質會在其周圍產生重力場,帶電體會在其周圍產生電場,同樣地,磁鐵也會在其周圍建立「磁場(magnetic field)」。磁場本身是個向量,以符號表示,如圖1所示,電荷被放在電場中時,會受到電力的作用,當電荷位於一磁場內時,也會受到磁力,但電荷位於磁場中要受到磁力的作用,電荷必須為非靜止狀態,且電荷必須在垂直於磁場的方向上有速度分量。

1. 帶電質點於磁場中情形

當一帶電質點之運動速度的方向與磁場的方向夾角為q時,其所受磁力的大小,與其電量q及其垂直於磁場方向的速度分量成正比,而空間中任一點磁場大小B的定義為F之比例常數,即

                                                                                                   (1)

SI單位中,磁場B的單位為(牛頓‧秒/庫倫‧公尺),稱為特斯拉(tesla, T)。一特斯拉表示1庫倫電荷沿垂直磁場的方向以每秒1公尺的速率運動,其受力為1牛頓時的磁場強度。因為每秒1庫倫即是1安培,所以1特斯拉常寫作(高斯)。

磁場有時也稱為「磁通量密度(magnetic flux density)」,磁通量的定義為穿過一平面之磁力線數目。對均勻的磁場和平面而言,如果磁場與平面垂直(圖2(a)),則通過此平面之磁通量定義為

                                                                                                        (2)

其中B為磁場大小,A為垂直於磁場之面積。在SI單位制中,磁通量的單位為,此組合單位稱為韋伯(Wb),磁場可寫成,此表示每單位面積的磁通量,同時磁場的單位也可寫成

如果磁場與平面法線方向的夾角為θ(圖2(b)),則磁通量的定義為

                                                                                    (3)

如果磁場不均勻或不是平面(圖2(c)),則可將曲面分成許多微小的面積,由於很小可視為平面,且在該處之磁場可視為均勻,因此通過此的微小通量可寫成

                                                                                                  (4)

將穿過所有微小面積的磁通量加起來,即為穿過整個曲面的總磁通量,其值為

                                                                                   (5)

2(a)磁場與平面垂直時          (b)磁場與平面的夾角為θ         (c)曲面時              

2.     電流磁效應

1820年哥本哈根大學教授奧斯特(H. C. Oersted, 1777-1851)在一次課堂上示範電流實驗時,意外發現導線旁的指南針會因為導線中通過電流而偏轉,經過多次的實驗,他證實導線中的電流會在它的周圍產生磁場,因而造成磁針的偏轉,這種現象稱為「電流磁效應」。當電流通過一條長直導線時,電流所產生的磁場其磁力線會呈現以導線為中心的圓形(圖3)。當電流的方向相反時,磁力線的方向亦會相反。磁場的方向可以由右手定則來表現,以右手拇指指向電流的方向,其餘四指繞著導線彎曲的方向,即為磁場的方向。

3. 右手定則

2.1安培定律

藉由上述可知電流會產生磁場,但是磁場的強度和方向卻和通電流導線的幾何形狀分部有關,例如在長直導線、圓形線圈、與螺線管四週的磁場都不太相同。然而它們都可由一個普遍的定律推導出來,就是「安培定律(Ampere’s Law)」,適用於任意幾何形狀的導線,而描述了電流和其所生磁場之間的關係。

如圖4所示,一載有電流I的長直導線垂直穿出紙面,以導線為圓心畫出一個半徑為r的圓形,在圓周上的每一點磁場大小均相等,皆等於,其磁場方向與圓相切。若將此圓周分成許多微小線段dL,再將各段的長度乘以在該段的磁場沿圓切線的分量,然後全部加起來(即積分),可得

                                       (6)

 

4. 長直導線產生之封閉曲線

上式積分符號加一個圓圈表示沿封閉曲線進行積分,稱為線積分。式(6)顯示磁場的線積分等於導磁係數乘以圓周所圍面積內通過的電流。上述的結果是由圓形導出,但是安培經過一番研究之後,發現可以將磁場線積分與電流的關係式推廣至更一般的情形。如圖5所示,沿任意封閉曲線,磁場的線積分等於導磁係數乘以穿越此曲線之諸電流的代數和,此即稱為安培定律,曲線內之電流正、負號可由右手定則決定。安培定律對長直導線、圓形線圈、與螺線管等任意電流的分布都成立,以下便將介紹此三種常見不同幾何形狀之導線之磁場公式。

5. 不規則封閉曲線

(1)   帶電流長直導線所產生的磁場

長直導線的磁場B和電流I成正比,而和距離r成反比,即

                                                                                                         (7)

其中常數稱為「真空磁導率(permeability of free space)」,大小為

(2)   帶電流圓形線圈所產生的磁場

圓形線圈周圍的磁場亦可由右手定則決定,如圖6所示,右手彎曲的四指表示電流的方向,伸直的拇指則表示圓心處的磁場方向,此處方向的規定與長直導線相反。

6. 圓形線圈磁場右手定則

7顯示帶有電流的圓形線圈所產生的磁場。在半徑為R的線圈中心,磁場是和線圈環面垂直,其大小為

                                                                                                         (8)

7. 圓形線圈所產生的磁場

若是線圈是由N匝的緊密導線纏繞而成時,則每一圈的磁場要相加起來,所以淨磁場是單一線圈的N倍大,因此圓心處所產生磁場為

                                                                                                     (9)

(3)   帶電流螺線管所產生的磁場

把長直導線均勻地以螺旋線形繞在一圓筒上,就成為一只螺線管,通常各線圈繞得很緊密,每一線圈可視為圓形線圈,可能繞一層或更多層。圖8顯示一有限長度的真實螺線管的磁力線,其分佈情形與一根磁棒所建立的磁力線十分相似,因此可將螺線管視為一根磁鐵。螺線管內的磁場方向與圓形線圈一樣都可由右手定則來決定,右手彎曲的四指指向螺線管中電流的方向,伸指的拇指則表示管內磁場的方向,拇指端的指向相當於磁棒的N極。

8. 有線長度之真實螺線管

帶電流螺線管的磁場可以利用安培定律來求得。圖9所示為一理想螺線管中的一段,我們於其上取一封閉的長方形路徑a-b-c-d,然後將積分路徑分為四部份,即

                                         (10)

上式右邊第一項沿a-b路徑積分時,平行,故

                                                             (11)

其中hab間的長度。式(10)中右邊第三項的積分路徑c-d在管外,而管外之B=0,故第三項積分為零。第二項與第四項在管外的部分為零,在管內的部分,由於管內垂直,所以,因此這兩項的積分亦為零。故沿整個長方形路徑的線積分為

                                                                                                   (12)

假設螺線管導線中的電流為I,每單位長度的線圈匝數為n,則長方形內的總匝數為nh,總電流為,安培定律可寫為

                                                                         (13)

因此                                                                                                         (14)

即理想螺線管產生之磁場強度與導線中的電流及單位長度的線圈匝數成正比。

9. 理想螺線管的一段

2.2 法拉第定律

1820年奧斯特發現電流可以產生磁場不久後,許多科學家便開始尋找相反的效應,探索磁場是否也可以產生電流。英國物理學家法拉第經過多年研究之後,率先在1831年發表他的實驗結果。簡單的說,穩定的磁場不會產生電流,但變化的磁場會在封閉的線圈中產生電流,稱為感應電流,此現象稱為「電磁感應(electromagnetic induction)」。此處所指“穩定的磁場”係指穿過線圈的磁通量維持固定,一旦當穿過線圈的磁通量發生變化時(增加或減少),在線圈上會感應到一電動勢,感應電流的便因此產生,且磁通量的變化愈大,感應電流亦愈大。

法拉第發現,當通過線圈的磁通量有變化時,線圈的感應電動勢與磁通量之改變率成正比,稱為「法拉第定律(Faraday’s Law)」,其數學式為

                                                                                                     (15)

其中稱為平均感應電動勢,單位為Wb/s為穿過線圈的磁通量變化率,為磁通量變化的時間間隔,式中的負號表示感應電動勢的方向。

(16)考慮的是單匝線圈,如果為N匝繞的緊密的線圈,則穿過各線圈的磁通量相等,當磁通量改變時,每一個線圈都產生一個相同的感應電動勢,這些電動勢的方向均相同,猶如電池的串聯,其數值可以相加,因此N匝線圈的法拉第定律可寫為:

                                                                                                  (16)

3.     線圈磁力數學模型推導

3.1 電感

10電路中有一個線圈,當開關S合上的瞬間,電流由零開始逐漸增強至其穩定值的過程中,此變化的電流會在右側線圈上造成磁場和磁通量的變化,由法拉第定律可知,在此線圈上將會產生一反向電動勢(self-induced emf, or back emf)以反抗此變化,一般的電路中都會出現這種「自感」現象,尤其是線圈、螺線管、或是螺線環的效應特別強烈。電源必須對線圈作功以克服此感應電動勢,才能使整個電路形成通路,電源的能量也將轉換至線圈而儲存起來。線圈以磁場方式儲存能量的能力稱為「電感(induction)」,此線圈稱為「電感器(inductor)」。

電感之感應電動勢v的大小為其電感量與電流變動率的乘積,此即“電感的歐姆定律”:

                                                                                                          (17)

其中L為線圈電感量,單位為亨利(henry, H)。在實用上亨利的單位太大,常用單位為毫亨(milli-henry, mH)及微亨(micro-henry, H)。為跨過此電感的電壓,所須作的功是

                                          (18)

10. 電感線圈

3.2 線圈產生磁力數學模型推導

11顯示有一長度為l、磁導率為m的圓柱型鐵心,其截面積為,部分插入具有N匝線圈,長度亦為l且截面積為的螺線管。當流過螺線管的電流是I時,本節中計算線圈作用於圓柱型鐵心的磁力大小與相對位置的關係式。假設原點設置在螺線管中心線與水平線的交點上,而鐵心中心有一參考點(x, 0)x=0時,螺線管中心線與鐵心中心線重合。

11. 線圈作用於圓柱型鐵心的磁力計算

在求取載流導線間的磁力、磁力矩的大小,或是線圈與鐵磁性物體間的磁力交互作用關係時,常利用「虛功原理(Principle of virtual work)」。假設一鐵磁性物體有一微量的虛位移dx,此dx並不會使整體系統的磁通量產生變化,如此將沒有感應電動勢的產生,也不需要外加的能量來抵抗電動勢,整個系統能量保持平衡。由此系統所做的機械功,將使其儲存的磁能減少,因此:

                                                                      (19)

由上式可得:

        (N)                                                                                      (20)

假設圖11中的線圈有N匝,載有電流I,此電流在每匝線圈產生相同的磁通量N為通過N匝線圈之淨磁通量。線圈中的磁場和磁通量與電流成正比,故磁通匝連數亦與電流成正比,故,其比例即為線圈電感量L,即

                                                                                                      (21)

                                                                                                       (22)

結合式(18)與式(22)可得本例(圖11)之

        =                                                   (23)

當線圈所產生的磁通量通過鐵心和其空隙時會形成所謂的「磁路」。與電路作類比,磁通量可由「磁動勢(magnetomotive force, mmf)除以鐵心與空隙「磁阻(reluctance)R的和求得,即

                                                                                                        (24)

磁動勢定義為磁場強度沿封閉路徑的線積分,其SI單位為安匝,即

                                                                                          (25)

而磁阻的定義為物質阻止磁力線通過磁路的特性,SI單位為

                                                                                                    (26)

其中l為磁路長度、A為截面積。

11例子中,磁阻R大小與鐵心於x軸上的距離有關,計算如下

                                                                                       (27)

代入(23)式可得

                                             (28)

則利用式(20)可得

                         (29)

將以下線圈的實際參數,線圈匝數N=420、電流I=50A、相對磁導係數(無單位)、鐵心截面積=、螺線管截面積=以及螺線管長36mm,代入式(29),當鐵心由x=-36移動至x=36時,其整體磁力分佈如圖12所示。

12. 實際鐵心受磁力曲線圖

參考文獻

大專物理,林水盛譯,新文京開發出版有限公司,892月。

物理學,詹景旭、張盛明譯,台灣西書出版社,902月。

電磁學原理與範例,陳錫桓編著,中央圖書出版社,7310月。

高職教師進修網站,http://elearning.stut.edu.tw/

東吳大學資訊科學系,http://sun.cis.scu.edu.tw/~lab/knowledge/l.htm