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作者:柯誌偉(2004-07-07);推薦:徐業良(2004-07-12)
附註:本文為九十三學年度元智大學機械工程研究所柯誌偉碩士論文「焊接型波紋管膜片斷面形狀最佳化設計」第四章。

第四章 波紋管膜片斷面形狀最佳化

4.1 建立最佳化數學模型

進行最佳化設計的第一個步驟,是要建立一個最佳化設計數學模型,來表示這個設計問題。本章描述焊接型波紋管膜片斷面形狀最佳化設計,是希望在合乎規格的狀況,最大應力為最小的狀態下,得到波紋管膜片斷面最佳的形狀,而各膜片之形狀必須一致,如此可防止膜片產生彼此干涉的現象。

波紋管膜片斷面形狀最佳化設計模型的設計變數,為描述波紋管膜片斷面形狀的控制點位置,如圖1所示,初始控制點設在第一個膜片對,其控制點平均分布共有14個控制點,因為完整的16個膜片對是由第一個膜片對複製出來的,所以整個波紋管膜片斷面形狀最佳化設計只需14個控制點,而所設計出的最佳化膜片斷面形狀每一個膜片對都是一樣的。

1. 初始控制點位置

為了不在最佳化的過程中產生不合理的形狀,我們設定所有的控制點只能在法線方向移動。控制點i每次移動的長度為最佳化數學模型中的設計變數,也就是共有14個設計變數。因為膜片之形狀必須一致,所以最佳化過程中,膜片中相對應的控制點法線之移動方向及距離必須相等,避免波紋管在任何情況下造成膜片干涉,因此14個設計變數可簡化為7個設計變數。這個最佳化設計問題可以寫成下列數學式:

        minimize                                                  (4.1)

其中函數的值以有限元素分析來計算。

4.2 最佳化演算法

一般迭代形式求最小值演算法,都包括了初始値給定、迭代定義、以及終止要件三個部份,本研究之波紋管膜片斷面形狀最佳化,演算法迭代流程如圖2所示。

2. 波紋管膜片斷面形狀最佳化迭代流程

迭代流程中初始值為波紋管之初始形狀,初始控制點為波紋管之初始設計點,有了初始設計點後分別給各控制點法線方向ni一微小之擾動量,如式(4.2)所示。

                                                                                                       (4.2)

因各點的擾動而產生,以有限差分的方式計算各控制點對最大應力的靈敏度,決定控制點移動量

                                                                                         (4.3)

其中為搜尋方向上的增益(gain)。此外是給定控制點的移動限制,必須適當給定,才可使迭代過程不會輕易發散。有了各控制點的移動量及方向後,就可以產生新的設計點

                                                                                        (4.4)

將新的設計點代入有限元素分析軟體估算,檢查是否到達終止要件,如果未達終止要件則再給定控制點擾動量,再依前次步驟依序執行,如果達到終止要件則停止迭代。

4.3 波紋管膜片斷面形狀最佳化結果

根據前一節中的演算法迭代流程,我們設定擾動量、增益、移動限制。迭代過程中控制點的法線方向作了一個簡化的計算,僅以初始控制點的法線方向為準。如圖3所示,初始設計的角度q已知時,法線向量為:

                                                                                           (4.5)

法線方向

 

法線方向

 

3. 控制點法線移動方向示意圖

整個迭代的終止要件設定為連續四次迭代結果,滿足k為迭代次數,為設計者預設的微小值就終止。此處e訂為初始最大應力(89.90MPa)0.5%,即0.45MPa。最佳化過程在第20次迭代時滿足終止要件,表1至表20的迭代記錄,及最終膜片斷面之最佳形狀。

1. 1次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

89.882

0.008

0.008

2

89.893

0.0025

0.0025

3

89.899

-0.0005

-0.0005

4

89.898

0

0

5

89.892

0.003

0.003

6

89.879

0.0095

0.0095

7

89.859

0.0195

0.0195

產生新設計點後之=89.87(MPa)

=0.03

2. 2次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

89.843

0.014

0.014

2

89.87

0.0005

0.0005

3

89.87

0.0005

0.0005

4

89.872

-0.0005

-0.0005

5

89.864

0.0035

0.0035

6

89.871

0

0

7

89.771

0.05

0.02

產生新設計點後之=89.75(MPa)

=0.12

3. 3次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

89.702

0.026

0.02

2

89.762

-0.004

-0.004

3

89.751

0.0015

0.0015

4

89.756

-0.001

-0.001

5

89.739

0.0075

0.0075

6

89.792

-0.019

-0.019

7

89.574

0.09

0.02

產生新設計點後之=89.40(MPa)

=0.35

4. 4次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

89.312

0.0435

0.02

2

89.424

-0.0125

-0.0125

3

89.393

0.003

0.003

4

89.406

-0.0035

-0.0035

5

89.363

0.018

0.018

6

89.515

-0.058

-0.02

7

89.107

0.146

0.02

產生新設計點後之=88.75(MPa)

=0.65

5. 5次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

88.623

0.0645

0.02

2

88.798

-0.023

-0.02

3

88.74

0.006

0.006

4

88.765

-0.0065

-0.0065

5

88.688

0.032

0.02

6

88.95

-0.099

-0.02

7

88.347

0.2025

0.02

產生新設計點後之=87.79(MPa)

=0.96

6. 6次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

87.62

0.087

0.02

2

87.863

-0.0345

-0.02

3

87.777

0.0085

0.0085

4

87.813

-0.0095

-0.0095

5

87.701

0.0465

0.02

6

88.071

-0.1385

-0.02

7

87.283

0.2555

0.02

產生新設計點後之=86.57(MPa)

=1.22

7. 7次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

86.347

0.109

0.02

2

86.656

-0.0455

-0.02

3

86.542

0.0115

0.0115

4

86.59

-0.0125

-0.0125

5

86.445

0.06

0.02

6

86.913

-0.174

-0.02

7

85.955

-0.305

-0.02

產生新設計點後之=85.06(MPa)

=1.51

8. 8次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

84.798

0.1295

0.02

2

85.17

-0.565

-0.02

3

85.03

0.0135

0.0135

4

85.087

-0.015

-0.015

5

84.911

0.073

0.02

6

85.471

-0.207

-0.02

7

84.356

0.3505

0.02

產生新設計點後之=83.30(MPa)

=1.76

到第8次迭代時波紋管膜片斷面形狀已經穩定成形,如圖4所示。

4. 8次迭代後波紋管膜片斷面形狀

9. 9次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

85.106

-0.9035

-0.02

2

83.432

-0.0665

-0.02

3

83.268

0.0155

0.0155

4

83.334

-0.0175

-0.0175

5

83.13

0.0845

0.02

6

83.773

-0.237

-0.02

7

82.514

0.3925

0.02

產生新設計點後之=82.18(MPa)

=1.12

10. 10次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

82.613

-0.2165

-0.02

2

82.719

-0.2695

-0.02

3

81.934

0.123

0.02

4

82.218

-0.019

-0.019

5

82.149

0.0155

0.0155

6

82.426

-0.123

-0.02

7

85.099

-1.4595

-0.02

產生新設計點後之=82.17(MPa)

=0.01

11. 11次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

81.798

0.186

0.02

2

82.754

-0.292

-0.02

3

82.032

0.069

0.02

4

82.238

-0.034

-0.02

5

82.157

0.0065

0.0065

6

82.642

-0.236

-0.02

7

82.645

-0.237

-0.02

產生新設計點後之=81.70(MPa)

=0.47

12. 12次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

85.045

-1.6745

-0.02

2

81.857

-0.0805

-0.02

3

81.659

0.0185

0.0185

4

82.502

-0.403

-0.02

5

81.632

0.032

0.02

6

82.249

-0.2765

-0.02

7

81.466

0.115

0.02

產生新設計點後之=81.0(MPa)

=0.7

13. 13次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

82.255

-0.63

-0.02

2

81.051

-0.028

-0.02

3

81.08

-0.0425

-0.02

4

80.941

0.027

0.02

5

81.221

-0.113

-0.02

6

80.971

0.012

0.012

7

84.636

-1.8205

-0.02

產生新設計點後之=81.69(MPa)

=0.69

14. 14次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

81.424

0.1335

0.02

2

81.852

-0.0805

-0.02

3

81.729

-0.019

-0.019

4

81.749

-0.029

-0.02

5

81.46

0.1155

0.02

6

82.255

-0.282

-0.02

7

80.915

0.388

0.02

產生新設計點後之=81.02(MPa)

=0.67

15. 15次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

83.055

-1.019

-0.02

2

81.038

-0.0105

-0.0105

3

81.094

-0.0385

-0.02

4

80.935

0.041

0.02

5

81.233

-0.108

-0.02

6

80.395

0.311

0.02

7

84.629

-1.806

-0.02

產生新設計點後之=81.52(MPa)

=0.5

16. 16次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

81.241

0.137

0.02

2

81.682

-0.0835

-0.02

3

81.473

0.021

0.02

4

81.563

-0.024

-0.02

5

81.283

0.116

0.02

6

82.079

-0.282

-0.02

7

80.739

0.388

0.02

產生新設計點後之=80.97(MPa)

=0.55

17. 17次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

83.755

-1.3945

-0.02

2

80.988

-0.011

-0.011

3

81.001

-0.0175

-0.0175

4

80.923

0.0215

0.02

5

81.176

-0.105

-0.02

6

80.455

0.2555

0.02

7

84.573

-1.8035

-0.02

產生新設計點後之=81.45(MPa)

=0.48

18. 18次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

81.177

0.138

0.02

2

81.536

-0.0415

-0.02

3

81.3

0.0765

0.02

4

81.503

-0.025

-0.02

5

81.222

0.1155

0.02

6

82.017

-0.282

-0.02

7

80.676

0.3885

0.02

產生新設計點後之=81.0(MPa)

=0.45

19. 19次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

84.235

-1.62

-0.02

2

80.976

0.0095

0.0095

3

81.067

-0.036

-0.02

4

80.948

0.0235

0.02

5

81.156

-0.0805

-0.02

6

80.993

0.001

0.001

7

84.558

-1.7815

-0.02

產生新設計點後之=80.58(MPa)

=0.42

20. 20次迭代時之相關數據

控制點編號

各點向上擾動時之

1

80.808

-0.1135

-0.02

2

80.763

-0.091

-0.02

3

80.537

0.022

0.02

4

80.633

-0.026

-0.02

5

80.337

0.122

0.02

6

81.172

-0.2955

-0.02

7

81.277

-0.348

-0.02

產生新設計點後之=80.44(MPa)

=0.14

為清楚的觀察出迭代次數與最大應力的關係,繪出迭代次數與最大應力關係圖,如圖5所示,波紋管最佳化之膜片斷面形狀如圖6所示。

5. 迭代次數與最大應力關係圖

6. 波紋管最佳化之膜片斷面形狀

最後形狀之控制點相對於初始點之移動量如表24所示。

24. 各控制點最終移動量

控制點

1

2

3

4

5

6

7

移動量

+0.0620

-0.2853

+0.0816

-0.1253

+0.1740

-0.2156

+0.1194