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作者:尹居中(2001-03-28);推薦:徐業良(2004-09-10);最近更新:楊哲彰,徐業良(2005-02-17)
附註:本文為元智大學機械系大三機械設計課程學期實作計畫。

機械設計學期實作計畫-懸臂樑結構設計與分析

1.     第八章實作計畫:麥管懸臂樑結構設計

以麥管為材料,如圖1所示,設計出一懸臂樑結構來連接CAB三點,其中C點為固定端,尖端B點處則必須承受一個方向向下、大小為5牛頓的負荷。C點至A點的長度為200mmA點至B點的長度為100mm,麥管的材料總長度被限制在400mm以內,在此長度限制內可自行設計懸臂樑的結構形狀,在懸臂樑結構未發生破壞的前提下,使B點的位移量為最小。

在這個實作計畫中,你可能要考慮以下問題:

(1)   選擇你所找得到最好的材料,像是最粗、質料最好的麥管。

(2)   了解你的材料,設計簡單的實驗,求取你的麥管的截面性質AI,和材料性質E、甚至Sy(或者能承受最大彎曲應力是多少),以便於後面的計算。你可能沒有辦法將麥管以萬能試驗機做拉伸試驗,但是身為一個設計工程師,你應該有辦法利用簡單的器材和實驗,估計出材料的這些未知參數。

(3)   你的麥管結構在承載負荷時,受力的形式和邊界條件為何?結構的哪些部份需要特別加強?先規劃出幾個簡單的設計草圖。

(4)   選擇一個設計方案繪製結構設計圖,並計算說明使用材料之總長度小於400mm

(5)   以理論公式計算你的設計中B點的位移,及此結構之最大應力,自行設定此結構的安全係數,證實所設計結構不會被破壞。

(6)   開始製作你的麥管結構,注意麥管之間的接點結合是否牢固。實際進行實驗,當施加負載後,端點B之位移量為多少?實際值與理論設計值誤差為多少?請進一步探討造成誤差的原因。

1. 結構設計需求

請審慎、仔細設計你們的懸臂樑結構,口頭報告時帶實品在課堂上展示。在下幾個單元電腦輔助設計的實作計畫中,你們將使用有限元素分析軟體對你們所設計的懸臂樑結構進行應力、振動分析、並進行最佳化設計。

2.     第九章實作計畫:以ANSYS作結構設計之有限元素分析

ANSYS是十分受到歡迎的有限元素分析軟體,在工業界及各大專院校都被廣泛使用。本實作計畫即是在以ANSYS逐步建立、分析一簡單結構,並與理論計算值作驗證。

以直徑φ為25mm的實心鋼柱為材料,設計出一結構來連接ABC三點,其中C點為固定端,尖端B點處則必須承受一個方向向下、大小為1000牛頓的負荷,三點的相對位置關係如圖1所示。實心鋼柱的材料總長度被限制在400mm以內,在此長度限制內可自行設計結構形狀,以期在結構未發生破壞的前提下,B點的位移為最小。鋼的E207GPaSy280MPa,請自行設定此結構的安全係數。

1. 結構設計需求

(1)   繪製結構設計圖,並計算說明使用材料之總長度小於400mm

(2)   以理論公式計算你的設計中B點的位移,及此結構之最大應力,證實所設計結構不會被破壞。

(3)   ANSYS軟體建立此結構之二維有限元素模型,建構程序細部說明如下。計算B點的位移,及此結構之最大應力,證實所設計結構不會被破壞。

2.1.     前處理

(1)   建立模型

a.       建立keypoints

Preprocessor à Create à Keypoints à On Working Plane,在指令輸入表上鍵入ABC三端點之座標,得到畫面如圖2

2. 建立keypoints

b.      建立線段

Preprocessor à Create à Lines à Straignt Line用滑鼠點選欲建立線段之keypoints,兩keypoints可形成一條直線,如圖3

3. 建立線段

(2)   模型網格化

a.       選擇元素類型

Preprocessor à Element Type à Add/Edit/Delete à Add,選擇元素Beam à 3D elastic 4”

b.      定義元素之相關常數

Preprocessor à Real Constants à Add à Type 1 BEAM4,如圖4所示,所需定義的常數有cross-sectional area (AREA)”area moment of inertia (IZZ, IYY)”、和thickness along Y axis (TKY, TKZ)”

4. 樑元素截面

c.       定義材料性質

Preprocessor à Material Props à Material Models à Structural à Linear à Elastic à Isotropic 於此處定義Young’s modulus (EX)”Poisson’s ratio (PRXY)”,若需要新增另一組材料,請於上方menu bar “Material à New Model處輸入新的材料號碼即可。注意定義元素常數與材料性質時須注意單位的一致性,若你所選擇的力量單位為牛頓(N),長度單位為mm,鋼的楊氏係數207Gpa =207000MPa=207000 N/mm2,故在輸入楊氏係數時應輸入207000”

d.      定義單位元素大小

在指令輸入表上鍵入esize, 10”esize”為定義單位元素大小的指令,後面數字應根據所建模型所需元素大小做適當修正。

e.       進行模型網格化

Preprocessor à Mesh à Lines à Pick All,電腦會將模型上所有的線段進行網格化的動作,如圖5所示。

5. 模型網格化

f.        融合鄰近節點

Preprocessor à Numbering Ctrls à Merge Item,在Type of tem to be merge”選擇“All”Merge”功能主要在將非常靠近的節點融合在一起,避免元素的連接性不正確。

(3)   設定邊界條件

a.       設定自由度

Solution à Apply à Displacement à On Keypoints,用滑鼠選擇限制自由度之節點,在本例中節點所有自由度都被限制住,故選擇All DOF”

b.      設定施加負荷

Solution à Apply à Force/Moment à On Keypoints,用滑鼠選擇欲施加負荷之節點,然後選擇負載方向及輸入負載大小。建構完成之有限元素模型如圖6所示。

6. 建構完成之有限元素模型

2.2.     求解

Solution à Current LS à 選擇OK”當畫面出現Solution is done”之訊息時,表示已解算完成。

2.3.     後處理

(1)    General Postproc à Element Table à Define Table à Add à By sequence num à NMISC à NMISC,”改為NMISC, 1”

(2)    General Postproc à Element Table à List Elem Table à NMIS1此指令可將每個元素的應力數值表列出來。

(3)    General Postproc à Element Table à Plot Elem Table à NMIS1 à OK。此指令可將整個模型的應力分布狀態以圖形方式顯現出來,如圖7所示。

7. 應力分布

(4)    General Postproc à Plot Results à Nodal Solu à DOF solution à USUM。下方選項須選擇Def + undeformed此指令可將模型變形前後狀態表現出來。

(5)    General Postproc à List Results à Nodal Solu à DOF solution à ALL DOFs。此指令可將每個節點上的變形量的數值表列出來。

3.     第十章實作計畫:結合有限元素分析作結構最佳化設計

在前兩次的實作計畫中分別進行了懸臂樑結構的設計及運用有限元素分析軟體ANSYS分析所設計懸臂樑的應力及變形。在此次的實作計畫裡,我們將運用最佳化設計的觀念,結合有限元素分析進行懸臂樑的結構最佳化設計,接下來將以一簡單案例說明所有步驟。

3.1  繪出初始設計

繪出你的初始設計。本案例初始設計如圖1所示,設計要求是設計出通過CAB三點的懸臂樑,故初始設計在材料長度許可的情形下,增設了DE輔助樑。

1. 初始設計模型

3.2 選擇設計變數

選定你結構設計中的設計變數。在此實作計畫中,為了避免問題過度複雜,選擇兩個設計變數即可,其餘數值均設為此最佳化設計問題的設計參數。本案例中設EC的長度為bCE的長度為a,選擇ab為此最佳化設計問題的設計變數。

3.3 訂定目標函數與限制條件

此結構設計問題中,主要設計要求有三︰

(1)   施加負載後懸臂樑結構尖端變形量小。

(2)   是施加負載後,懸臂樑結構不能破壞。

(3)   結構使用材料總長度不得超過400mm

很明顯的,這三個設計要求中,第一項設計要求應列為目標函數,另外兩項是限制條件。因此最佳化設計模型可以表示如下︰

min. 

s.t.   

       

本案例初始設計中,a=80mmb=60mm,最大變形量0.91mm,最大應力91.27MPa

3.4 推導最佳化設計數學模型的標準形式

min.                                         值須以ANSYS計算

s.t.                     值須以ANSYS計算

       

                       

其中設計參數Sy=280MPaN=3L=400mm,在ANSYS中必須輸入的設計參數為材料的楊氏係數E=207,000MPa,尖端荷重F=1000N

3.5 ANSYS計算出離散設計點上變形量與應力之數值

接下來希望以圖解方式解初最佳設計點。首先以ANSYS計算出離散設計點上變形量與應力之數值,進而繪出目標函數之等高線圖。本案例中考量變數ab的範圍,設a=20, 40, 60, 80b=20, 40, 60, 80,由此可有16組合,修改ANSYS初始模型,可以計算出1616的數值,如表1、表2所示。

1. 離散設計點上的

b        a

20

40

60

80

20

1.2558

1.249

1.2580

1.2693

40

1.1180

1.0762

1.0681

1.0751

60

1.0043

0.9394

0.9162

0.9098

80

0.9091

0.8286

0.7951

0.7806

2. 離散設計點上的

b       a

20

40

60

80

20

117.34

117.34

117.34

117.34

40

104.31

104.31

104.31

104.31

60

91.269

91.269

91.269

91.269

80

78.229

78.229

78.229

78.229

3.6 Matlab繪出目標函數等高線圖

(1)   進入Matlab主程式視窗。

(2)   在視窗上鍵入x=[20,40,60,80]”“y=[20,40,60,80]”,此兩個矩陣是設定ab之數值。

(3)   將所有的數值依序以矩陣方式輸入,鍵入“delta=[1.2558, 1.2490, 1.2580, 1.2693; 1.1180, 1.0762, 1.0681, 1.0715; 1.0043, 0.9394, 0.9162, 0.9098; 0.9091, 0.8286, 0.7951, 0.7806]”

(4)   的所有數值以矩陣方式輸入,鍵入“sigma=[117.34, 117.34, 117.34, 117.34; 104.31, 104.31, 104.31, 104.31; 91.27, 91.27, 91.27, 91.27; 78.23, 78.23, 78.23, 78.23]”

(5)   鍵入“contour(x, y, delta)”可繪出之等高線圖,鍵入“clabel(contour(x, y, delta))”可將等高線之高度標示出來,如圖2

2. 目標函數圖形

(6)   鍵入hold”此指令可將所有的圖形繪製於同一張圖上。

(7)   鍵入“clabel(contour(x, y, sigma, [280/3,280/3]))”,此指令在將限制條件g1繪入目標函數圖形。如圖3中顯示93.3”的線條即是g1

3. 加了限制條件g1的圖形

(8)   鍵入“a=20:80;”“b=(100^2-a.^2).^(1/2);”,此二指令在定義限制條件g2,定義完畢後,鍵入“plot(a, b)”即能在目標函數上繪出限制條件g2。如圖4右上角介於0.80.9之間多了一條曲線即為限制條件g2

4. 加了限制條件g2的圖形

(9)   如圖4所示,在限制條件上方為可行區域,下方為不可行區域,在限制條件g2的上方為不可行區域,曲線下方為可行區域。由圖形可看出,愈往右上方結構變形量愈小,限制條件g2與目標函數相交在目標函數為0.8的曲線時為最佳解,其a值約為60mmb值約為80mm,最大變形量0.80mm,較初始設計進步12%

4.     第十一章實作計畫:懸臂樑結構模態分析

在先前的實作計畫中進行了懸臂樑結構的設計及靜態有限元素分析,在此次的實作計畫裡將以有限元素分析軟體ANSYS對你所設計的懸臂樑進行模態分析,計算結構自然頻率及模態形狀,並由其模態形狀中探討如何進一步提升結構剛性。

以下以一簡單案例說明所有步驟,請以你自己在先前實作計畫中設計的懸臂樑尺寸,以同樣的步驟進行分析。

4.1 繪出設計模型

首先繪出懸臂樑結構設計模型如圖1所示,其中CE長度為80mmCD長度為60mm

1. 模態分析初始模型

4.2 進行懸臂樑模態分析

在進行模態分析之前須注意到,結構的邊界條件一定要設定,即固定端的自由度要設定後才能進行模態分析,且因為模態分析涉及材料質量,在前處理時材料性質必須輸入材料密度。在左側視窗點選Preprocessor à Material Props à Material Models à Structural à Density 視窗裡的“Density (DENS)”,除此之外材料性質還需輸入楊氏係數。

注意在建立有限元素模型進行模態分析時,若幾何模型長度單位為m,則E207×109Pa,密度為7.9×103kg/m3。若長度單位為mm,則密度為7.9×10-6kg/mm3,且因加速度的單位為m/sec2,故在單位換算後其E值應為207×106

模型建立完成後,在求解時模態分析的指令步驟如下:

(1)       在指令列上輸入“/SOLU”,以進入求解視窗。

(2)       在指令列上輸入“ANTYPE, MODAL”,此指令將求解模式設定為模態分析。

(3)       在指令列上輸入“MODOPT, LAMB, 3”,此指令在選擇LAMB為求解的運算方法,數字3”為選擇求取的模態為3組。

(4)       在指令列上輸入“MXPAND, 3”,鍵入此指令以便於讀取分析資料。

(5)       在指令列上輸入“SOLVE”,便即開始進行模態分析。

4.3 讀取求解資料

求解完畢後,在左側的操作視窗中點選General Postproc à Results Summary 即能出現圖2之數據視窗,其中第一項的TIME/FREQ”即為三種模態的自然頻率,由圖2中可知,此結構的前三個自然頻率為292.39392.46993.90,單位為rad/sec

2. 分析數據視窗

4.4 讀取結構的模態形狀(mode shape)

在進行分析之前,我們輸入了求取結構的前三個自然頻率,故求解後我們可以獲得三個相對應的懸臂樑結構震動的模態形狀,讀取方式如下:

(1)       點選操作視窗的General Postproc à First Set,表示讀取第一模態。

(2)       點選General Postproc à Plot Results à Nodal Solu à DOF solution à USUM

(3)       在指令列上輸入“ANMODE, 10, 1E-1”,此指令在將懸臂樑的振動狀態以“avi”的格式進行播放,數字10表示選擇10張動畫,1E-1則為每張動畫的播映時間,可選擇適當角度觀察懸臂樑的第一模態(如圖3),注意每次進行此指令之前一定要先執行一次步驟(2)

3. 懸臂樑第一模態

(4)       點選操作視窗的General Postproc à Next Set,表示讀取第二模態。

(5)       點選General Postproc à Plot Results à Nodal Solu à DOF solution à USUM

(6)       在指令列上輸入“ANMODE, 10, 1E-1”,觀察懸臂樑的第二模態如圖4

4. 懸臂樑第二模態

(7)       點選操作視窗的General Postproc à Next Set,表示讀取第三模態。

(8)       點選General Postproc à Plot Results à Nodal Solu à DOF solution à USUM

(9)       在指令列上輸入“ANMODE, 10, 1E-1”,觀察懸臂樑的第三模態如圖5

5. 懸臂樑第三模態

4.5 由模態形狀中探討如何進一步提升結構剛性

在進行模態分析之後,接下來假設可以額外再多得到總長100mm之材料作結構補強,由其模態形狀中探討如何如何補強可以進一步提升結構剛性,即提升結構的自然頻率。

(1)       點選Preprocessor à Clear à Lines à Pick All,此指令在將模型的元素網格清除,如此便能對模型進行修正。

(2)       運用新增100mm的材料進行模型修正,由自然頻率最低的第一模態形狀,可以了解結構剛性較差的部份,因此決定將新增100料補強如圖6

(3)       點選Preprocessor à Operate à Glue à Lines à 用游標點選欲連結之樑柱,注意確保樑柱之間能完全結合。

6. 補強後結構

(4)       幾何形狀建置完成後,繼續進行模型元素網格化及邊界條件的設定。

(5)       重複第二節到第四節之步驟進行結構模態分析。新結構之第一、二、三模態形狀,如圖7~9所示。

7. 新結構的第一模態

8. 新結構的第二模態

9. 新結構的第三模態

比較新、舊結構的模態形狀(圖3~5與圖7~9),可以發現新結構之模態形狀與舊結構相似,但自然頻率為321.11520.00991.39,補強之第一、第二模態自然頻率比原結構之自然頻率提高。

4.6 計算新結構之變形量

B點加入原先之負載,並在指令列上輸入“ANTYPE, STATIC”,將分析形態改為靜力分析進行求解,求取新結構之最大變形量,可得到新結構的最大變形量為0.56mm,比先前0.80mm又降低了30%,前後分析結果可以相互印證。(注意:長度單位使用mm者,在進行靜力分析時,楊氏係數E要改回207×103