//Logo Image
作者:徐業良(2005-07-01)﹔推薦:徐業良(2005-07-01)
附註:本文為元智大學機械所最佳化設計課程教材。

第一章 工程最佳化設計的概念與過程

本文以一個簡單的“樣本問題”描述「工程最佳化設計(engineering design optimization)」的過程,希望同學在進入最佳化設計課程細節的學習前,能先對工程最佳化設計建立一個整體的概念,瞭解最佳化設計方法在工程問題上應用的架構及可能得到的效果,以及在這個過程中所需使用的工具,從而引導出最佳化設計課程所要學習的單元。這個“樣本問題”也將在後續的課程內容中不斷出現,提醒同學目前所學習的單元在整個工程最佳化設計過程中的角色和地位。

1.     樣本問題-籃球架結構設計問題

1.1 籃球架結構原始設計

1為元智大學室外球場的籃球架,是目前一般室外球場常採用的單柱形式,優點是底座不佔空間,且可以軟墊包覆球柱、保護球員安全。然而這種單柱式籃球架的缺點,是其結構為懸臂樑形式,剛性較不足(如元智大學的籃球架投籃擊中籃框後振動很厲害),結構受力時(如大力扣籃)變形量大。圖2是元智大學室外球場籃球架之大略尺寸圖,假設籃板為厚5mm的強化玻璃板,球柱為直徑200mm、壁厚5mm的圓型鋼管,連接球柱與籃板間結構均為直徑50mm、壁厚2mm的圓型鋼管。

1. 元智大學室外球場的單柱式籃球架

2. 元智大學室外球場籃球架之大略尺寸圖

為瞭解這個籃球架結構設計的剛性和強度,我們用有限元素分析軟體來作模擬分析,圖3是此籃球架結構之有限元素分析模型。這個分析模型中以三維樑元素模擬籃球架結構,假設灌籃時瞬間有3000N的衝擊力(大約是NBA強力中鋒Shaquille O’Neal體重的兩倍)作用在籃框位置,此時籃板僅限制了籃架四個接點的自由度,並不承載負荷,因此圖3中將籃板簡化為四個邊框,並且忽略籃框本身的剛性,整體負載(籃板重20kg、荷重3000N,總負載約3200N)則平均分佈在4個接點(點5678)上。球柱固定於地面處(座標原點)所有移動及旋轉自由度均設為零。

3. 有限元素分析之負載及邊界條件

4是有限元素分析結果之變形情況及應力分佈,其中最大變形量是48.55mm,最大應力是306.78MPa。分析結果顯示,這個籃球架結構原始設計的結構剛性與強度均不佳,變形量太大,且最大應力超過材料的容許應力200MPa,需要作改良設計。

4. 有限元素分析所得之變形情形(左圖)及應力分佈(右圖)

1.2 籃球架結構改良設計

改良設計希望就現有籃球架結構,以成本最低、改變最少的方式進行補強,最後決定增加二支各1.00m長、左右對稱之補強樑,如圖5

在此設計概念下,首先設定了圖5中的補強位置a=0.80mb=0.60m,再次建立其有限元素分析模型,分析結果最大變形量為34.91mm最大應力為254.53MPa。這個籃球架結構改良設計與前節中未加補強樑前原始設計的分析結果相比,最大變形量與最大應力分別減少了28.09%17.03%,但是應力仍然高於材料容許應力200MPa,仍是不可行設計。

這個改良設計的補強位置a=0.80mb=0.60m是任意自行假設的,進一步的思考是,如果調整補強樑的位置,是否可以得到更好的結構剛性和強度?但是要如何決定最佳的補強樑位置ab呢?

5. 籃球架結構改良設計

2.     樣本問題-籃球架結構最佳化設計

2.1 建立最佳化設計數學模型

整理一下這個設計問題,我們希望決定圖5中補強樑最佳位置ab,以同時滿足以下三個設計要求:

(1)   在籃框位置受到3200N負載時,結構整體變形量小。

(2)   在籃框位置受到3200N負載時,最大應力不超過材料容許應力。

(3)   補強樑長度為1.00m

在這三個設計要求中,我們將第一項設計要求列為「目標函數(objective function)」,其他兩項列為「限制條件(constraints)」,而把這個設計問題表示成如下「最佳化設計數學模型」︰

        min. 

        s.t.   

                                                                                 (1)

其中“min.”是“最小化(minimize)”的縮寫,“s.t.”是“在…條件下(subject to)”的縮寫;ab為此最佳化設計問題所要求的的「設計變數(design variable)」,Sy(材料容許應力,此處為200MPa)、L(補強樑長度,此處為1.00m)為已給定的「設計參數(design parameter)」。為設計變數ab的函數,分別為在此(a, b)值下,籃球架結構最大變形量及最大應力,這兩個函數在這裡都是以有限元素分析軟體來計算。式(1)最佳化設計數學模型中雖然有兩個設計變數,但「等式限制條件(equality constraint)限制了限制了變數ab之間的關係,因此這個問題只有一個獨立變數。

列出了式(1)最佳化設計數學模型後,接下來就是要求取這個數學模型的「最佳解(optimal solution)」。

2.2 求取最佳解

前一節中已經用有限元素分析過,當a=0.80mb=0.60m時,最大變形量為34.91mm最大應力為254.53MPa。為了要求出ab的最佳值,我們想先知道ab的值變化時,函數的變化趨勢,因此繼續分別假設a=0.10m0.20m0.40m0.60m,計算出相對應的b值,修改有限元素分析模型,再做4次有限元素分析,所得結果記錄於表1

1. 變化設計變數數值所得分析結果

a(m)

b(m)

(MPa)

(mm)

0.100

0.995

222.25

36.06

0.200

0.980

191.45

32.19

0.400

0.917

191.86

30.88

0.600

0.800

216.05

31.75

0.800

0.600

254.53

34.91

將表15次分析數據之a值畫出來如圖65個離散點,可以用一條二次曲線作「曲線適應(curve fitting)」逼近這5個點,利用如MatlabExcel等軟體可以求得如下近似二次曲線方程式:

                                                       (2)

6. 15次分析數據之a值與曲線適應函數

6中的紅線即為此近似方程式,由此此近似方程式可得,補強樑最佳的位置為a=0.47mb=0.88m,此時由近似方程式求得之最大變形量30.60mm。接下來再次修改有限元素分析模型,使a=0.47mb=0.88m,實際進行有限元素分析,所得最大變形量31.03mm,與近似方程式預測值相差1.41%,這個誤差尚可接受。

最後整理最佳化設計結果,最佳解a*=0.47mb*=0.88m,此時最大變形量為31.03mm,最大應力為199.09MPa,為一可行設計。最大變形量與最大應力和初始設計(a=0.80mb=0.60m)的分析結果相比,分別進步了11.13%21.78%;與最早未加補強樑前的分析結果相比,分別進步了36.09%35.10%

2.3 對最佳解的闡釋與思考

要實際實現這個最佳化設計a*=0.47mb*=0.88m可能遇到的問題是,如果量測、施工上尺寸有些許誤差,是否會大幅影響這個最佳化設計的性能表現?

從圖6中可以看出,最佳解附近最大變形量的曲線相當平坦,也就是說對於設計變數a的變化不敏感。利用式(2)實際作一個「靈敏度分析(sensitivity analysis)」,給設計變數a一個±1%的擾動,的變化不到0.02%,也就是說,這個設計點不會因為些許的誤差而造成目標函數劇烈的改變,是一個「強健的設計(robust design)」。

第二個問題是,在求這個最佳解的過程中,似乎沒有利用到應力限制條件。圖7中同樣將表15次分析數據之a值畫出來,並利用一條二次曲線作曲線適應(curve fitting)逼近這5個點,利用如MatlabExcel等軟體可以求得如下近似二次曲線方程式:

                                               (3)

如圖7所示,當時,0.210.52,也就是說變數a的「可行區間(feasible domain)」在[0.21, 0.52]。最佳解a*=0.47m剛好在此可行區間中,也就是說在此可行區間中有一個「內部最佳解(interior optimum)」(這也是前面提到最佳解附近的曲線相當平坦的原因)。而限制條件並不影響這個內部最佳解的數值,因此在這個狀況下是一個「無效限制條件(inactive constraint)」。

7. 變數a值的曲線適應函數與可行區間

前面提到SyL為設計需求或規格中給定的設計參數,如果設計需求中容許應力從200MPa下降到195MPa,最佳設計點會有何變化呢?

如圖8所示,當容許應力從200MPa下降到195MPa時,變數a的可行區間也縮小為[0.27, 0.46],先前的內部最佳解a*=0.47m並不在可行區間內,此時最佳解為a*=0.46mb*=0.89m,此時由近似方程式求得之最大變形量30.60mm,最大應力193.84MPa。接下來再次修改有限元素分析模型,使a=0.46mb=0.89m,實際進行有限元素分析,所得最最大變形量30.96mm,最大應力197.41MPa,與近似方程式預測值分別相差1.2%1.9%,這個誤差尚可接受。

這個最佳解發生在可行區域邊界上,是一個「邊界最佳解(boundary optimum)」,「有效限制條件(active constraint)直接影響了最佳解的數值。

8. 邊界最佳解的狀況

另外一個設計參數L是補強樑長度,此處給定為1.00m,但是如果給定補強樑的長度有所變化時,會如何影響結構的性能?

設定L=0.50mL=0.75mL=1.25mL=1.50m,分別進行一次前述最佳化設計程序,所得最佳解整理如表2與圖9。可以看出設計參數L越大時,結構的最大變形量與最大應力也隨著下降。設計規格對設計性能有很大的影響,事實上「最佳化設計」僅僅是在給定的設計規格下所能達到的最佳值,因此在訂定設計規格時也應審慎思考規格的合理性。

2. 不同設計參數下的最佳解

 

L=0.50m

L=0.75m

L=1.00m

L=1.25m

L=1.50m

a (m)

0.22

0.33

0.47

0.60

0.78

b (m)

0.45

0.67

0.88

1.10

1.28

最大變形量, (mm)

39.36

34.54

30.60

27.85

26.10

最大應力, (MPa)

277.09

242.68

194.47

145.57

137.80

9. 不同設計參數之最佳解

3.     最佳化設計的程序

「最佳化(optimization)」的方法在許多不同領域如數學、應用科學、工程、經濟、統計學、甚至醫學,都有廣泛的應用。本課程內容是針對工程設計最佳化而發展,在工程設計問題中,整個工程設計程序事實上是一個很自然的迴圈形式的迭代程序,設計者不斷地在了解問題,思考、產生新的方案,嘗試、評估各種方案,最後在有限的時間與資源之下選擇一個最好可能的解決方案。所謂最佳化設計的概念,可能也早就已經自然存在於所有設計者的思維中,只是也許並不是許多設計者對設計問題思考模式的主軸。

前述樣本問題中,工程最佳化設計的程序大體包括三個階段:首先建立最佳化設計數學模型,再以最佳化的數值方法求取最佳解,最後則是進一步分析、解釋,驗證這個數值結果。與一般設計思考程序相比較,最佳化設計比較偏重量化數值的分析。從前述樣本問題可以看出,在進行最佳化設計之前,基本的設計概念已經確立,最佳化設計的程序似乎只是在為這個設計概念尋找最好的數值解,因此許多最佳化設計的教科書重點在於介紹最佳化的數學理論,或者解最佳化設計模型的數值方法。

然而對設計工程師來說,最佳化設計的目的,不應僅在於求得一個數值最佳解,而是要從最佳化設計的過程中,進一步增進設計者對其所設計系統的了解。將實體的工程問題轉換、建立成為抽象的最佳化設計數學模型,即是一個系統化的思考過程,幫助設計者系統性地分析、了解影響設計的各種因素及限制,並由整體系統的觀點來看設計問題。建立最佳化設計數學模型的過程需要大量專業領域知識,事實上應該是設計工程師在最佳化設計過程中最重要的工作,也是本課程第一部份強調的重點。

本課程第二個部分則是大部分最佳化設計教科書強調的重點,解最佳化數學模型的數值方法,但是本課程並不鑽研於數值演算法背後艱深的數學原理,而著重於各種演算法的架構概念以及各演算法之間系統脈絡的介紹。事實上目前已有許多功能強大最佳化數值軟體,求簡單數學模型的數值最佳解完全沒有問題,然而當嘗試在工程最佳化設計問題上應用這些商用軟體時可能會發現,有很大的比例工程最佳化設計問題無法直接套用現成的電腦軟體來處理。

例如在樣本問題中都要經過有限元素分析軟體計算,無法直接寫成設計變數ab之外顯形式函數(explicit function),而必須分析多個設計點後以曲線適應求出近似式描述此二函數。很顯然的,工程最佳化設計問題廣泛存在這類型內隱形式函數(implicit function),需要自行設計特殊演算法來處理,因此對各種演算法的架構概念的認識十分重要。

本課程第三部份將進一步討論最佳化方法在工程問題應用上,可能碰到的不同類型問題及處理方式,例如「離散式變數(discrete variable)最佳化」問題和「多目標最佳化(multi-objective optimization)」問題,以及其他將最佳化方法在工程問題實際應用上應該注意的問題、可能發生的困難、與解決方法。

如前所述,整個工程設計程序已經是一個很自然的迴圈形式的迭代程序,但許多設計決策比較是定性的決策,往往憑藉設計者過去的經驗、在此專業領域的知識、甚至主觀的直覺。數值最佳化設計演算法則完全依據數值資訊作判斷,而利用各種數值演算法解工程最佳化設計問題有一個很重要的盲點,也正是數值最佳化設計方法完全將工程最佳化設計問題視為一個“數學問題”、完全依據數值資訊作判斷,而沒有利用設計者在此問題上過去的經驗、專業領域的知識、甚至主觀的直覺。

本課程第四部份便將討論工程最佳化設計研究上的思考,如何將設計者的經驗、知識也能被建構在最佳化設計演算法中,包括如何應用類神經網路作最佳化設計,及如何應用模糊邏輯作最佳化設計。

◇作業1

在你的研究或工作上,是不是有需要作最佳化設計的工程問題?選擇兩個可能的問題,大致描述一下問題的內容。◇