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作者:魏綸群(2008-01-20);推薦:徐業良(2008-01-20)
附註:本文為九十六學年度元智大學機械工程研究所魏綸群碩士論文「塑膠射出成型製程時間最佳化設計」第三章。

第三章 以模糊比例微分控制器最佳化演算法求解塑膠射出成型製程時間最佳化問題

本論文前一章中,描述了塑膠射出成型製程及製程時間最佳化模型,其特色在於變數對於限制條件與目標函數均呈現單調特性,並對於以缺失現象所表達的限制條件,其均難以以外顯之數學方程式表達,亦即此些限制條件均為內隱式限制條件,而HsuLiu[1]提出之「模糊比例微分控制器最佳化演算法」,可針對此類具有單調性及內隱式函數特色的工程最佳化問題作處理,故本論文中即以此最佳化演算法來求解塑膠射出成型製程時間最佳化問題。

本章中將以一同時考慮四種成型不良現象之塑膠射出成型實際案例為範例,首先將對此案例作簡單說明,並運用本論文前一章導出之最佳化模型描述此案例。接著,將進行此案例之單調性分析,並依據單調性分析之結果建立模糊比例微分控制器,最後則對此案例之最佳化分析結果作一描述。

3.1 機車前置物箱塑膠射出成品之最佳化模型

如圖3.1所示,為一機車前置物箱之塑膠射出成型成品,此成品之外型尺寸為 ,所採用之材質為PBT(玻璃轉換溫度Tg224°C),成品之重量為8.5g。此射出成型成品在製作過程中,充填不足、凹塌、流痕,以及氣泡四種成型不良現象極為嚴重,導致製程工程師在調整射出參數時,花費相當多時間進行測試。本論文中即以此案例,作為運用模糊比例微分控制器最佳化演算法,進行塑膠射出成型製程時間最佳化問題之應用範例。

3.1 機車前置物箱成品圖

3.1所示,為射出成型製程參數之上界與下界數值,其中之射出壓力、射出速度以及關模壓力之給定,是採用相對於機器最大之射出壓力、最大之射出速度以及最大之關模壓力,而給予欲設定之百分比,而射出時間、冷卻時間與模具溫度的上、下界設定則是依據機台的工作範圍給予的,熔融溫度上、下界範圍則是依據材料特性所給定的。

3.1 製程設計變數之上下界範圍

設計變數

變數上界

變數下界

符號

數值

符號

數值

射出時間

99.99 sec

0 sec

射出壓力

100 %

0 %

射出速度

100 %

0 %

冷卻時間

999.9 sec

0 sec

熔融溫度

300°C

224°C

模具溫度

110°C

35°C

關模壓力

100%

0%

依據本論文第二章所導出之塑膠射出成型最佳化模型,僅討論與充填不足(2.13)、凹塌(2.14)、流痕(2.16)、氣泡(2.22)四種成型不良現象相關之限制條件,以及與設計變數上、下界相關之限制條件,亦即式2.23至式2.36,同時將表3.1之上下界範圍帶入模型中,即可獲得本案例之最佳化數學模型如下:

 

 

....................................................................... (3.1)

3.2 單調性分析

單調函數是指當變數值增加時,函數值呈現單純遞增或遞減趨勢之函數,此類型函數常見於一般的工程問題中,例如:發動機輸入能量大則輸出功率亦大,射出成型模具溫度增高則冷卻時間增長等。單調性是由Wilde[2]1975年提出對目標函數與限制條件的單調性概念來檢驗最佳化模型界限,並進而在WildePapalambros兩位教授研究發展下開始單調性分析的最佳化理論分析方法[3, 4],單調性分析為一種定性分析方法,其經由對目標函數以及限制條件單調性之檢驗,來分析最佳化模型是否限制不良或未限制,限制條件是否為有效或不具相關性等。

3.2所示為本論文中針對機車前置物箱塑膠射出成型製程時間最佳化模型之單調性表,將此單調性表輸入單調性分析程式MONO中作分析,可獲得分析結果如圖3.2。如圖3.2所示,限制條件具有關鍵性,於目標函數中之設計變數將因此而消去,整體單調性未因此而改變。而對另一在目標函數之設計變數而言,為有條件關鍵性限制條件,亦即其中之一對設計變數具有關鍵性。

3.2 塑膠射出成型製程時間最佳化模型之單調性表

----------------- PC MONO V3.1 : 7.out ------------------

TABLE 0 .

                1      2      3      4      5      6      7

        F      +      .       .       +      .       .       .

        G1   -       -       -       .       -       -       .

        G2   -       -       -       .       +      .       .

        G4   .       -       -       .       -       -       .

        G10 -       -       -       +      +      +      +

        G11  +      .       .       .       .       .       .

        G12 -       .       .       .       .       .       .

        G13 .       +      .       .       .       .       .

        G14 .       -       .       .       .       .       .

        G15 .       .       +      .       .       .       .

        G16 .       .       -       .       .       .       .

        G17 .       .       .       +      .       .       .

        G18 .       .       .       -       .       .       .

        G19 .       .       .       .       +      .       .

        G20 .       .       .       .       -       .       .

        G21 .       .       .       .       .       +      .

        G22 .       .       .       .       .       -       .

        G23 .       .       .       .       .       .       +

        G24 .       .       .       .       .       .       -

  1. G18 is critical for 4 by MP1.

  2. 4 and G18 are eliminated.

  3. No monotonicity changes.

TABLE 1 .

                1      2      3      5      6      7

        F      +      .       .       .       .       .

        G1   -       -       -       -       -       .

        G2   -       -       -       +      .       .

        G4   .       -       -       -       -       .

        G10 -       -       -       +      +      +

        G11  +      .       .       .       .       .

        G12 -       .       .       .       .       .

        G13 .       +      .       .       .       .

        G14 .       -       .       .       .       .

        G15 .       .       +      .       .       .

        G16 .       .       -       .       .       .

        G17 .       .       .       .       .       .

        G19 .       .       .       +      .       .

        G20 .       .       .       -       .       .

        G21 .       .       .       .       +      .

        G22 .       .       .       .       -       .

        G23 .       .       .       .       .       +

        G24 .       .       .       .       .       -

 

******************************

*        GLOBAL FACTS        *

******************************

* Irrelevant Variables :

        None

* Unbounded Variables :

        None

* Directed Equality Constraints :

        None

* Critical Constraints :

        4 eliminated by MP1, G18 critical below.

* Uncritical (Relaxed) Constraints :

        None

* Conditionally Critical Sets :

        One of ( G1 G2 G10 G12 ) must be critical for 1.

3.2 MONO輸出結果

3.3 運用模糊比例微分控制器演算法之準備

依據HsuLiu[1]之研究,經單調分析後其結果共有4種可能性:(1)設計變數為一具關鍵性之限制條件所限制;(2)設計變數為一有條件關鍵性限制條件集合所限制;(3)設計變數在單調性分析後,其單調性符號在目標函數中為“無法確定(indeterminate)”;以及(4)設計變數未出現在目標函數中。

由圖3.2 MONO之輸出結果顯示,限制條件 對設計變數 具有關鍵性,其即為上述4種情形之第一類,於此狀況下, 於下一次迭代之數值可以以下式估算:

...................................... (3.2)

其中,為解模糊化方法,則為關鍵限制條件之歸屬函數(membership function)

而限制條件其中之一對設計變數將具有關鍵性,亦即設計變數為有條件之關鍵性限制條件集合所限制,亦即上述4種情形之第二類,於下一次迭代之數值可以以下式估算:

................ (3.3)

對於設計變數,以及並未出現在目標函數中,因此屬於上述第四種之情形。若所有設計變數所出現之限制條件均未違反,則之數值均為零,亦即下次迭代之設計變數值將維持不變。若有任一限制條件被違反,則之數值將由違反限制條件之計算得之,概念計算與式3.3相同。

於機車前置物箱塑膠射出成品之最佳化問題中,設計變數初始值給定如表3.3所示,目標函數與各限制條件之數值如表3.4所示,而表5.5則為量化程度(quantization level)表,表5.6為各設計變數之最大移動限制(move limits)

3.3 設計變數初始值

設計變數

變數初始值

1.00 sec

25.0%

20.0%

10.0 sec

240.0°C

50.0°C

60.0%

3.4 目標函數與各限制條件數值

函數

函數值

11

1

1

1

0.5

-98.99

-1.00

函數

函數值

-75.0

-25.0

-80.0

-20.0

-989.9

-10.0

-60.0

函數

 

 

函數值

-16.0

-60.0

-15.0

-40.0

-60.0

 

 

3.5 量化程度表

量化程度

1

0.5

0

-0.5

-1

1

0.75

0.5

0.25

0

1

0.75

0.5

0.25

0

1

0.75

0.5

0.25

0

1

0.75

0.5

0.25

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3.6 各設計變數之最大移動限制

設計變數

最大移動限制符號

最大移動限制值

0.5 sec

2.5%

2.5%

2.5 sec

2°C

2°C

2.5%

3.4 最佳化分析結果

於本論文所討論之機車前置物箱塑膠射出成品最佳化求解中,以(1)目標函數值連續三次不變,亦即呈現收斂狀態,不可能再獲得更好的目標函數值;(2)目標函數中之設計變數均已抵達下界,此兩條件為迭代中止要件。圖3.3所示為運用模糊比例微分控制器演算法,進行機車前置物箱塑膠射出成品最佳化之目標函數迭代歷程圖。如圖3.3所示,最佳化求解共進行21次迭代,且目標函數值業已呈現收斂狀態。

再比較表3.7目標函數值、射出時間與冷卻時間之列表,射出時間由初始之1 sec起,上升至第4次迭代時之1.85 sec,其後均為持定值不再移動;而冷卻時間卻由初始之10 sec起一路下降,由於射出成型機於冷卻時間設定上之最小刻度為小數點後1位,至第21次迭代時,演算法所計算出之數值已小於小數點後1位,因此於射出成型機之冷卻時間輸入值已達下界0

由於於第21次迭代時,射出時間維持定值不變,而冷卻時間已達下界,因此判定最佳化迭代已滿足中止要件。再檢查所有限制條件值如表3.8所示,所有限制條件均滿足,因此確認第21次迭代所得之解為最佳解。表3.9為成型不良相關之限制條件於各次迭代中之函數值,其中,「1」表示嚴重成型不良,「0」表示符合需求,而0.750.50.25則為成型不良獲得改善的三個等級。而最佳解之設計變數值整理如表3.10所示。

3.11所示為各次迭代所得之之機車前置物箱塑膠射出成品圖,可以明確看到成品由完全不良,修正為符合標準之過程。

MATLAB Handle Graphics

3.3 目標函數迭代歷程圖

3.7 目標函數值與射出時間、冷卻時間表

迭代次數

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

射出時間(sec)

1

1.25

1.50

1.74

1.85

1.85

1.85

1.85

1.85

1.85

1.85

冷卻時間(sec)

10

8.8

7.5

6.3

5.1

4.0

4.1

2.8

2.1

1.6

1.2

目標函數(sec)

11

10.05

9.0

8.04

6.95

5.85

5.95

4.65

3.95

3.45

3.05

迭代次數

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

射出時間(sec)

1.85

1.85

1.85

1.85

1.85

1.85

1.85

1.85

1.85

1.85

1.85

冷卻時間(sec)

0.9

0.7

0.6

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

目標函數(sec)

2.75

2.55

2.45

2.25

2.15

2.15

2.05

2.05

1.95

1.95

1.85

3.8 成型不良相關之內隱式限制條件值

迭代次數

充填不足

凹塌

流痕

氣泡

0

1

1

1

0.5

1

1

1

1

0.5

2

1

1

1

0.5

3

0.5

0.5

1

0.5

4

0

0

1

0

5

0

0

1

0

6

0

0

0.75

0

7

0

0

0.75

0

8

0

0

0

0

9

0

0

0

0

21

0

0

0

0

3.9 21次迭代之限制條件函數值

函數

函數值

1.85

0

0

0

0

-98.14

-1.85

函數

函數值

-66.9

-33.1

-71.0

-29.0

-999.8

0.0

-56.2

函數

 

 

函數值

-19.8

-56.2

-18.8

-45.0

-55.0

 

 

3.10 最佳解之設計變數值

設計變數

變數最佳值

1.85 sec

33.0%

29.0%

0.0 sec

243.8°C

53.8°C

55.0%

3.11 各次迭代所得之成品圖

迭代次數

射出成品

迭代次數

射出成品

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

21

 

 

參考文獻

[1] Hsu, Y. L, Liu, T. C., 2007, “Developing a fuzzy proportional-derivative controller optimization engine for engineering design optimization problems,” Engineering Optimization, Vol. 39, n. 6, pp. 679-700.

[2] Wilde, D. J., 1975, “The Monotonicity and Dominance in Optimal Hydraulic Cylinder Design,” ASME Journal of Engineering for Industry, Vol. 97, pp. 1390-1394.

[3] Papalambros, P., 1979, “Monotonicity Analysis in Engineering Design Optimization,” PhD dissertation, Design Division, Mechanical Engineering, Stanford University, Stanford, California.

[4] Papalambros, P., and Wilde D.J., 2000, “Principles of Optimal Design – Modeling and Computation,” Cambridge University Press, 2nd ed.