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作者:洪佳杰(2009-04-04);最近更新:洪佳杰(2009-06-02);推薦:徐業良(2009-04-05)

史都華平台原理與定位方式

本文介紹史都華平台的基本原理及優缺點,並說明平台定位方式以及定位程式撰寫與測試。

1.         史都華平台簡介

史都華平台最早的雛型出現於1956年,由V. E. Gough因為工作上的需求所建立,隨後在1965年由D. Stewart加以改良,並命名為史都華平台(Stewart Platform)

如圖1所示,史都華平台為一並聯式(parallel)的工作平台,由6根線性致動器(linear actuator)、上下分別透過6個萬向接頭,與可動板(platform)及固定板(base)連接組成,經由6根線性致動器的長度變化,互相牽引萬向接頭,可使上方的可動板呈現不同位置及角度,達到工作上的需求。

1. 史都華平台組成

史都華平台由6個線性運動之組合來驅動可動板,共有6個自由度,包含了前後移動(Surge)、左右橫移(Sway)、升降起伏(Heave)、左右側傾(Roll)、前後翻滾(Pitch)、左右平擺(Yaw)等運動(如圖2)。將這6種運動排列組合可產生無數個型態,只要在可動板上安裝所需的機構,就能夠適合在高精密度及非線性的3D曲面上進行工作。

2. 史都華平台運動型態模型

2.         史都華平台的優缺點與實際應用

史都華平台上的6支線性致動器,皆屬於二力構件,只承受軸向力(拉力或壓力),因此若可動板受力的方向改變時,6支線性致動器皆能分擔負載,降低連桿的負擔,所以能夠承受較高的載重,結構剛性很高。

機械手臂大多使用串聯式(serial)的結構設計,當工作端伸到最長時,末端會呈現如懸臂梁之結構,每一支串聯的關節會累積誤差,因此當工作端移動時,容易造成晃動,使精準度降低,所能承受的力量較小並聯式結構的史都華平台的剛性比串聯式結構高,穩定度較佳,更能在複雜的工作環境內達到高精密度的定位。不過由於可動板的移動受到線性致動器長度的限制,因此工作空間小,而且存在著奇異點(singular point)的限制,當平台在奇異點的位置時會失去支撐方向的力,導致結構崩垮,因此如何迴避奇異點在史都華平台應用上必須注意的問題。

高精密度、高剛性的史都華平台廣泛應用在航太、軍事、天文、醫療等領域。圖3為帕司卡企業推出的飛行模擬器,藉由油壓缸的長度變化使上方的模擬機台做3D的運動,用來模擬飛機在飛行的狀況。圖4是美國德州HET公司的大型天文觀測台,同樣利用史都華平台為底盤,利用其穩定性、精確度高的特性,用來架設天文望遠鏡。圖5為一手術用的機械平台,它合併兩個史都華平台,利用串聯兩個並聯平台的方式增加工作空間,克服平台在工作空間上的限制。

3. 飛行模擬訓練機[http://www.pascal.com.tw]

4. HET Telescope Structure[http://www.as.utexas.edu/mcdonald/het/photos.html]

5. 手術用微型機器人[Tanikawa and Arai, 1999]

3.         史都華平台的定位方式

3.1 順向運動學與逆向運動學

史都華平台的定位有兩種方式,第一種為「順向運動學(Forward kinematics)」,即先給定每一支線性致動器的長度,計算出可動板最終的位置,第二種「逆向運動學(Inverse kinematics)」,是先決定可動板最終的位置及方向,再計算出每支線性致動器該伸長多少。

在導入運動學之前,先建立兩個空間向量如下:

(1)   Cartesian space[x, y, z, α, β, γ]T,其中[x, y, z]表可動板原點的位置,[α, β, γ]為可動板與x, y, z三軸的夾角。

(2)   Joint space[S1, S2, S3, S4, S5, S6]T,其中Si分別表示6支線性制動器的長度。

當運算從Joint spaceCartesian space屬於順向運動學,反之稱為逆向運動學。不過即使先決定6支線性致動器的長度,但因與上下平板連結的萬向接頭有可能會呈現不同的方向,導致於可動板的位置及角度不一,因此經由順向運動學的運算會產生多數解的現象;逆向運動學就沒有這種問題,先給定可動板的座標及角度,經由運算得到6支線性致動器的長度會是唯一解。實務應用上史都華平台的定位,亦是採用逆向運動學的方式。

3.2 史都華平台逆向運動學定位方程式推導

如圖7所示,進行運算之前,必須在可動板(紅色標示區域)上建立座標系{P},在固定板(藍色標示區域)上建立座標系{B}。逆向運動學運算主要目的,是給定可動板的原點Op欲達成之位置及方向,透過轉換矩陣求出各線性致動器從{B}座標系上的連接點到{P}座標系上的連接點的向量Si,再對此向量取絕對值即可知道長度。

7. 史都華平台向量示意圖

定義{P}座標系轉成{B}座標系的轉換矩陣,意即:

                                                                                  (1)

其中為可動板原點相對於固定板原點的平移向量,

                                                                                        (2)

隨著可動板的移動,可由可動板原點移動過後的座標減掉固定板原點座標得到。R是旋轉矩陣如下:

(3)

其中α, β, γ為給定可動板與x, y, z三軸的夾角。

如圖7所示,6個線性致動器在可動板上的連接點,則為6個線性致動器在固定板上的連接點。已知{P}座標系的描述,將式(2)、式(3)帶入式(1),可得B座標系的描述如下:

                                                                         (4)

向量與向量({B}座標系中線性致動器i與固定板連接點之座標向量)相減,可得出線性致動器向量如下:

                                                                                                  (5)

最後可求得線性致動器長度

                                                                         (6)

總結而言,已知6根線性致動器與可動板連接點座標,及與固定板連接點座標。給定可動板原點欲達到的位置和方向[x, y, z, α, β, γ]T,即可得到可動板原點對固定板原點的平移向量及旋轉矩陣R;將每一個分別帶入(4)~(6)式,就能求得欲達到此位置和方向時,每一支線性致動器的長度。

3.3 實際案例操作

8是某史都華平台的簡圖,圖9、圖10分別為可動板及固定板,6根線性致動器與可動板及固定板的連接點均為對稱分佈。在可動板上先量出可動板原點到每一連接點的長度100mm,每一點均相同),以及每一連接點x軸夾角,依此計算出每一點的座標。同理,在固定板上量出固定板原點到連接點的長度150mm),以及每一連接點x軸夾角,也可求得固定板上的連接點座標。接著量出線性致動器的最短長度(lmin)333.97mm,最長長度(lmax)483.97mm

8. 某史都華平台示意圖

9. 可動板上連接點座標

10. 可動板上連接點座標

輸入可動板原點欲達到的位置和方向,可求得平移矩陣以及旋轉矩陣R,將已知數據R帶入(4)~(6)式,即可算出每一支線性致動器的長度。所求的每支線性致動器長度減去最短長度lmin,就能知道每支線性致動器在最長長度lmax範圍內該伸長多少,以達到定位動作。

4.         史都華平台定位程式

本節敘述史都華平台之定位程式撰寫與測試,給定史都華平台可動板最終的位置及方向,藉由逆向運動學(inverse kinematics)計算出每支線性致動器的伸長量。本程式以Matlab撰寫,整體架構如圖11所示,起始後分成Platform(可動板)、Transform Matrix(旋轉矩陣)、Base(固定板)等三個副程式,再將三個副程式計算結果做向量運算(Vector Operation),即可求得線性致動器的伸長量,並檢查此組伸長量是否可行(Length & Check)。各副程式分別敘述如下。

F:\3423\stewart_workspace\my\Concept1.jpeg

11. 程式流程

(1)   6個線性致動器在可動板上的連接點座標計算

12為可動板程式,可分為3部分:

Ÿ   9~11行:輸入可動板中心點的初始位置(x, y, z) 及可動板中心點的最終位置(, , )

Ÿ   12~13行:定義可動板半徑和6個球接點與水平軸的夾角;

Ÿ   14~18行:計算6個球接點的新位置座標,隨著可動板最終位置而改變,並放入的矩陣pp中(第23行);

12. 6個線性致動器在可動板上的連接點座標計算

如圖13所示,若給定可動板中心點座標後,不論平台以什麼角度呈現,其中心點位置會保持不變。

F:\3423\stewart_workspace\my\degree.jpg

13. 不同角度之可動板示意圖

(2)   6個線性致動器在固定板上的連接點座標

14為固定板的程式,第26行定義固定板半徑,第26行定義固定板中心點為原點,第28~36行再運算出固定板上6個球接頭座標,並整理出一個的矩陣,即式(5)中之

14. 6個線性致動器在固定板上的連接點座標

(3)   轉換矩陣

15為轉換矩陣的程式。首先使用者輸入可動板對x軸、y軸以及z軸的夾角(yaw, pitch, roll),接著程式利用式(3)計算出旋轉矩陣R中每一元素數值,並丟入矩陣J中。

15. 旋轉矩陣

(4)   向量運算

16為史都華平台的工作狀態模型,已知數據,利用式(4)向量運算就能得到。圖17為向量運算的程式碼,分成3部分:

16. 史都華平台工作狀態模型

17. 向量運算之程式

Ÿ   當給定可動板中心點的最終位置以及原始位置,兩點相減會得到向量;可動板中心點原始位置與固定板中心點相減得到向量,將以上兩向量相加可得到向量(第51~53行);

Ÿ   可動板中心點移至最終位置後,6接點新座標減掉可動板中心點最終座標得到6個接點的向量(第54~56行);

Ÿ   從固定板座標看6接點位置向量計算(第57~60行)、如式(4)可得到6

(5)   線性制動器伸長量計算及長度限制檢查程式

18為線性制動器伸長量計算及長度限制檢查程式,分成兩部分:

Ÿ    線性制動器長度以及伸長量(第62~67行):將減去向量即可得到,也就是線性致動器的向量,將此向量取內積開根號即可得到每一支線性致動器的總長度,再將總長度扣掉原始長度就能得到每一支的伸長量(如式(5)(6))。

Ÿ    長度限制檢查(第68~72行):若6支線性制動器的總長度全部介於事先定義的最大長度(Lmax)以及最短長度(Lmin)之間,輸出「OK」,若有任一一支致動器的長度在此範圍之外,則輸出「超出範圍」。

18. 線性制動器伸長量計算及長度限制檢查程式

如圖19所示,在此程式中使用者輸入可動板中心點預設初始位置(pci)[0, 0, 327.8]、最終位置(pcf)[0, 0, 360],最終角度[0, -15, 0],程式輸出結果「f」代表每一支線性致動器的總長度,「Li」表示每一支線性致動器的伸長量,最後「OK」表示此可動板的最終位置不會使線性致動器超過最大行程。

19. 史都華平台定位程式輸入與輸出

參考資料

Tanikawa, T. and Arai, T., “Development of a micro-manipulation system having a two-fingered micro-hand” IEEE Transaction on Robotics and Automation, v.15, n.1, 1999.