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作者:楊尚軒 (2014-07-14);推薦:徐業良(2015-12-11)

附註:本文為102學年度元智大學機械工程研究所楊尚軒碩士論文「嵌入式LED燈具散熱結構設計之研究與探討」第四章。

第四章   嵌入式LED燈具散熱結構最佳化設計

本章節將依據第三章分析所得之數值,建立嵌入式LED燈具散熱結構數學模型,以序列線性規劃法進行散熱結構最佳化設計。

4.1    序列線性規劃法簡介

絕大部分數值演算法假設所有函數是連續的、精確的、有解析形式的,然而這與實際的工程最佳化問題有相當差距,工程最佳化問題中的函數通常是不連續、不精確、沒有解析形式的。因此設計者在處理一般工程最佳化問題時,往往很難找到現成的演算法或商用電腦程式,可以立即直接套用,通常還是要根據問題的特性修改演算法,甚至重新設計演算法。

線性規劃法有非常強健而有效率的演算法及商業電腦程式,可以輕易地解出大規模的線性規劃問題,然而大多數科學及工程的最佳化問題中,不論是限制條件或是目標函數對於設計變數通常都是非線性的。解非線性問題演算法設計上很自然的發展方向,便是以一系列簡單易解的線性規劃子問題,來近似原來複雜難解的非線性最佳化問題,這種演算法稱作「序列線性規劃法(sequential linear programming, SLP)」。

線性序列規劃法首先將目標函數及限制條件在起始設計點X0以一階泰勒級數線性化,展開成如下形式:

         

   

 

上述公式是一個線性規劃子問題,可以用線性規劃中的簡算法求解,得到下一次迭代的設計點X1。一般來說,這個新設計點X1應比起始設計點X0更為接近原始非線性規劃問題的最佳點,因此在下一次迭代中,便將公式在設計點以一階泰勒級數線性化展開,得到一個新的線性規劃子問題,再對此問題求解。如此反覆以線性規劃子問題去近似原先的非線性規劃問題,希望每一次迭代得到的新設計點,都比前一個設計點更接近真正的最佳點,而在新設計點上的線性近似子問題,也越來越近似原非線性問題最佳點的附近區域。最後線性規劃子問題的解,終於可以趨近原先非線性問題的最佳點。

公式中的最後一項限制條件稱為「移動限制(move limit)」,移動限制的給定,主要是因為利用線性序列規劃法解非線性最佳化問題時,函數是以一階泰勒級數方式近似展開,只有在設計點的附近才會較近似於原來的非線性曲線,超過一定範圍的話線性近似便相當不準確。因此在每次迭代過程中設計變數的改變量必須以移動限制加以侷限,否則演算過程中很可能會發生振盪及發散的情形。[1]

4.2    建立嵌入式LED燈具散熱結構最佳化設計數學模型

在第三章節以ANSYS進行崁入式LED燈具散熱結構分析數值如表4-1,可以看到散熱鰭片高度5mm從厚度0.8mm一直到5mm,其溫度是逐漸上升,另外的10mm15mm也是相同情形,也就是說,在散熱鰭片底部長寬與鰭片之間距為固定值之下,散熱鰭片厚度越薄,如0.8mm,其表面積越大,而熱傳遞效果越佳。

4-1. 散熱鰭片不同厚度、高度之溫度一覽表

Heatsink_厚度測試數據.png

建立嵌入式LED燈具散熱結構最佳化設計數學模型之前,必須先決定設計變數(design variables)、設計參數(design parameters)和根據這些變數所訂出的最佳化目標函數(objective function)和限制條件(constraint functions)

Ÿ   設計變數:鰭片厚度t、鰭片高度h、鰭片間距p、鰭片長度l

Ÿ   設計參數:鰭片數量N (23)、最高溫度T  (40)

Ÿ   目標函數:min. Cost (t, h, p, l)

Ÿ   限制條件:Temp (t, h, p, l) <= T

初步將嵌入式LED燈具散熱結構的最佳化設計數學模型建立如下:

min.    Cost (t, h, p, l)=l´h´t´N

s.t.     Temp (t, h, p) <= T

        l = (N-1)´p+N´t

由表4-1可知,當散熱鰭片為t=2mm, h=10mm, p=0.8mm時,其最高溫度為41.3℃,仍大於限制條件之溫度值。因此,初始設計值可先定義為t=1.5mm, h=10mm, p=0.8mm,並以ANSYS進行分析,所得溫度如下:

M0: t=1.5mm, h=10mm, p=0.8mm è T0 = 40.0

00001.jpg

4-1. 散熱結構-t=1.5mm, h=10mm, p=0.8mm之溫度分佈圖

ANSYS分析後之初始設計值溫度為40.04-1,已接近限制條件之值40。接下來,再對設計變數thp值作變動,並以ANSYS進行分析,再將ANSYS分析所得各溫度值減初始設計值溫度,以及設計變數變動後之值減初始設計值,所得結果如下:

M01: t=1.6mm, h=10mm, p=0.8mm è T01 = 39.5 è (39.5-40.0)/(1.6-1.5)=- 5

M02: t=1.5mm, h=11mm, p=0.8mm è T02 = 39.5 è (39.5-40.0)/(11-10)=-0.5

M03: t=1.5mm, h=10mm, p=0.9mm è T03 = 39.6è (39.6-40.0)/(0.9-0.8)=-4

再將這些數值,寫成下列線性化限制條件:

40.0+(t-1.5)´(-5)+(h-10)´(-0.5)+(p-0.8)´(-4)<=40

依據初始設計值之thp定義其限制條件為1.2<=t<=1.88<=h<=120.8<=p<=1.0,再依數學模型及限制條件之值,建立GAMS分析程式如圖4-2

4-2. GAMS分析程式

GAMS分析程式中的成本函數說明如下:

Ÿ   鋁密度d=2.71g/cm3=2.71g/1000mm3=2.71×10-3g/mm3

Ÿ   體積(V)=厚度(t)×高(h)×長(l) mm3

Ÿ   質量(m)=( t×h×l )×d=m=V×d=(t×h×l)×2.71×10-3g

Ÿ   =135/ kg = 0.135/g

Ÿ   全部共N(23)

Ÿ   Cost[N×(t×h×l×d)]×0.135 =[23×(t×h×l)×2.7×10-3]×0.135=0.0084(t×h×l)

Ÿ   Cost0.0084(t×h×l) ()

GAMS分析程式中的thplN之圖解說明如下:

Ÿ   t=鰭片厚度

Ÿ   h=鰭片高度

Ÿ   p=鰭片間距

Ÿ   l=鰭片長度

Ÿ   N=鰭片數量

4-3. GAMS分析程式之thplN圖解說明

進行第一次迭代分析,分析結果如圖4-4

4-4. GAMS分析結果-第一次迭代

由圖4-4可得知,初始值第一次迭代分析結果c=5.942t=1.54h=8p=1,以此數值接續進行第二次迭代分析、第三次迭代分析...,直到連續兩次迭代目標函數的差值於1%之內,即停止迭代分析。迭代分析歷程如下

4-2. 崁入式LED燈具散熱結構最佳化設計-迭代歷程表

迭代歷程表.png

4-4. 崁入式LED燈具散熱結構最佳化設計-迭代歷程圖

經由上述ANSYSGAMS分析,以及迭代反覆計算,崁入式LED燈具散熱結構最佳化設計值為t=1.2h=8p=0.8,成本3.645。經ANSYS分析,此時燈具最高溫度為40,與初始值設計相同,但成本降低了38.7%

參考資料

[1]    徐業良,工程最佳化設計,華泰書局。